Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61047 / 40360
↖ ↑ ↗
← N 56.692442°
W 12.329407°		 ← 167.68 m → N 56.692442°
W 12.326660°		 →
↑
167.75 m
↓
↑
167.75 m
↓
N 56.690933°
W 12.329407°		 ← 167.69 m →
28 129 m²		 N 56.690933°
W 12.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465755462646484 y=0.307926177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465755462646484 × 217)
    floor (0.465755462646484 × 131072)
    floor (61047.5)     		tx = 61047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307926177978516 × 217)
    floor (0.307926177978516 × 131072)
    floor (40360.5)     		ty = 40360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61047 / 40360 ti = "17/61047/40360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61047/40360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61047 ÷ 217
    61047 ÷ 131072     		x = 0.465751647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40360 ÷ 217
    40360 ÷ 131072     		y = 0.30792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465751647949219 × 2 - 1) × π
    -0.0684967041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21518874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30792236328125 × 2 - 1) × π
    0.3841552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20685938483453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21518874} λ = -0.21518874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20685938483453))-π/2
    2×atan(3.34296916897891)-π/2
    2×1.2801330471542-π/2
    2.5602660943084-1.57079632675     		φ = 0.98946977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21518874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.329407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98946977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.692442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61047 KachelY 40360 -0.21518874 0.98946977 -12.329407 56.692442
    Oben rechts KachelX + 1 61048 KachelY 40360 -0.21514081 0.98946977 -12.326660 56.692442
    Unten links KachelX 61047 KachelY + 1 40361 -0.21518874 0.98944344 -12.329407 56.690933
    Unten rechts KachelX + 1 61048 KachelY + 1 40361 -0.21514081 0.98944344 -12.326660 56.690933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98946977-0.98944344) × R
    2.63300000000743e-05 × 6371000     		dl = 167.748430000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98946977-0.98944344) × R
    2.63300000000743e-05 × 6371000     		dr = 167.748430000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21518874--0.21514081) × cos(0.98946977) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549133069485061 × 6371000     		do = 167.684388838095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21518874--0.21514081) × cos(0.98944344) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549155074195397 × 6371000     		du = 167.691108241113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98946977)-sin(0.98944344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549133069485061-0.549155074195397)×R²
    abs(-0.21514081--0.21518874)×2.20047103366428e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20047103366428e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20047103366428e-05×40589641000000     		ar = 28129.3565495094m²