Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61046 / 57943
↖ ↑ ↗
← S 79.772390°
E155.335693°		 ← 108.46 m → S 79.772390°
E155.341187°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 79.773365°
E155.335693°		 ← 108.45 m →
11 767 m²		 S 79.773365°
E155.341187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931495666503906 y=0.884147644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931495666503906 × 216)
    floor (0.931495666503906 × 65536)
    floor (61046.5)     		tx = 61046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884147644042969 × 216)
    floor (0.884147644042969 × 65536)
    floor (57943.5)     		ty = 57943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61046 / 57943 ti = "16/61046/57943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61046/57943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61046 ÷ 216
    61046 ÷ 65536     		x = 0.931488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57943 ÷ 216
    57943 ÷ 65536     		y = 0.884140014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931488037109375 × 2 - 1) × π
    0.86297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71111929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884140014648438 × 2 - 1) × π
    -0.768280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41362289586983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71111929} λ = 2.71111929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41362289586983))-π/2
    2×atan(0.0894904918310124)-π/2
    2×0.0892527369289672-π/2
    0.178505473857934-1.57079632675     		φ = -1.39229085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71111929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39229085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.772390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61046 KachelY 57943 2.71111929 -1.39229085 155.335693 -79.772390
    Oben rechts KachelX + 1 61047 KachelY 57943 2.71121517 -1.39229085 155.341187 -79.772390
    Unten links KachelX 61046 KachelY + 1 57944 2.71111929 -1.39230788 155.335693 -79.773365
    Unten rechts KachelX + 1 61047 KachelY + 1 57944 2.71121517 -1.39230788 155.341187 -79.773365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39229085--1.39230788) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39229085--1.39230788) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71111929-2.71121517) × cos(-1.39229085) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177558996803974 × 6371000     		do = 108.462175984952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71111929-2.71121517) × cos(-1.39230788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17754223738224 × 6371000     		du = 108.451938467382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39229085)-sin(-1.39230788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177558996803974-0.17754223738224)×R²
    abs(2.71121517-2.71111929)×1.67594217341249e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67594217341249e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67594217341249e-05×40589641000000     		ar = 11767.387894387m²