Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61046 / 41135
↖ ↑ ↗
← N 55.505305°
W 12.332153°		 ← 172.97 m → N 55.505305°
W 12.329407°		 →
↑
172.97 m
↓
↑
172.97 m
↓
N 55.503750°
W 12.332153°		 ← 172.98 m →
29 920 m²		 N 55.503750°
W 12.329407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465747833251953 y=0.313838958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465747833251953 × 217)
    floor (0.465747833251953 × 131072)
    floor (61046.5)     		tx = 61046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313838958740234 × 217)
    floor (0.313838958740234 × 131072)
    floor (41135.5)     		ty = 41135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61046 / 41135 ti = "17/61046/41135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61046/41135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61046 ÷ 217
    61046 ÷ 131072     		x = 0.465744018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41135 ÷ 217
    41135 ÷ 131072     		y = 0.313835144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465744018554688 × 2 - 1) × π
    -0.068511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21523668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313835144042969 × 2 - 1) × π
    0.372329711914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.16970828762899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21523668} λ = -0.21523668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16970828762899))-π/2
    2×atan(3.22105288049273)-π/2
    2×1.26977332883033-π/2
    2.53954665766065-1.57079632675     		φ = 0.96875033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21523668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.332153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96875033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.505305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61046 KachelY 41135 -0.21523668 0.96875033 -12.332153 55.505305
    Oben rechts KachelX + 1 61047 KachelY 41135 -0.21518874 0.96875033 -12.329407 55.505305
    Unten links KachelX 61046 KachelY + 1 41136 -0.21523668 0.96872318 -12.332153 55.503750
    Unten rechts KachelX + 1 61047 KachelY + 1 41136 -0.21518874 0.96872318 -12.329407 55.503750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96875033-0.96872318) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dl = 172.972649999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96875033-0.96872318) × R
    2.71499999999758e-05 × 6371000     		dr = 172.972649999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21523668--0.21518874) × cos(0.96875033) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566329924414391 × 6371000     		do = 172.971736248496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21523668--0.21518874) × cos(0.96872318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.566352300655508 × 6371000     		du = 172.978570528498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96875033)-sin(0.96872318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566329924414391-0.566352300655508)×R²
    abs(-0.21518874--0.21523668)×2.23762411166728e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23762411166728e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23762411166728e-05×40589641000000     		ar = 29919.9706676291m²