Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61046 / 40780
↖ ↑ ↗
← N 56.053635°
W 12.332153°		 ← 170.55 m → N 56.053635°
W 12.329407°		 →
↑
170.55 m
↓
↑
170.55 m
↓
N 56.052101°
W 12.332153°		 ← 170.56 m →
29 089 m²		 N 56.052101°
W 12.329407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465747833251953 y=0.311130523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465747833251953 × 217)
    floor (0.465747833251953 × 131072)
    floor (61046.5)     		tx = 61046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311130523681641 × 217)
    floor (0.311130523681641 × 131072)
    floor (40780.5)     		ty = 40780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61046 / 40780 ti = "17/61046/40780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61046/40780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61046 ÷ 217
    61046 ÷ 131072     		x = 0.465744018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40780 ÷ 217
    40780 ÷ 131072     		y = 0.311126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465744018554688 × 2 - 1) × π
    -0.068511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21523668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311126708984375 × 2 - 1) × π
    0.37774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18672588699411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21523668} λ = -0.21523668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18672588699411))-π/2
    2×atan(3.27633653129089)-π/2
    2×1.27455840778552-π/2
    2.54911681557104-1.57079632675     		φ = 0.97832049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21523668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.332153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97832049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.053635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61046 KachelY 40780 -0.21523668 0.97832049 -12.332153 56.053635
    Oben rechts KachelX + 1 61047 KachelY 40780 -0.21518874 0.97832049 -12.329407 56.053635
    Unten links KachelX 61046 KachelY + 1 40781 -0.21523668 0.97829372 -12.332153 56.052101
    Unten rechts KachelX + 1 61047 KachelY + 1 40781 -0.21518874 0.97829372 -12.329407 56.052101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97832049-0.97829372) × R
    2.67699999999538e-05 × 6371000     		dl = 170.551669999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97832049-0.97829372) × R
    2.67699999999538e-05 × 6371000     		dr = 170.551669999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21523668--0.21518874) × cos(0.97832049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558416589137628 × 6371000     		do = 170.554799965722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21523668--0.21518874) × cos(0.97829372) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558438796276797 × 6371000     		du = 170.561582597636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97832049)-sin(0.97829372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558416589137628-0.558438796276797)×R²
    abs(-0.21518874--0.21523668)×2.22071391685619e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22071391685619e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22071391685619e-05×40589641000000     		ar = 29088.9843569562m²