Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61045 / 57909
↖ ↑ ↗
← S 79.739174°
E155.330200°		 ← 108.80 m → S 79.739174°
E155.335693°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
S 79.740153°
E155.330200°		 ← 108.79 m →
11 839 m²		 S 79.740153°
E155.335693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931480407714844 y=0.883628845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931480407714844 × 216)
    floor (0.931480407714844 × 65536)
    floor (61045.5)     		tx = 61045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883628845214844 × 216)
    floor (0.883628845214844 × 65536)
    floor (57909.5)     		ty = 57909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61045 / 57909 ti = "16/61045/57909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61045/57909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61045 ÷ 216
    61045 ÷ 65536     		x = 0.931472778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57909 ÷ 216
    57909 ÷ 65536     		y = 0.883621215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931472778320312 × 2 - 1) × π
    0.862945556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71102342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883621215820312 × 2 - 1) × π
    -0.767242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41036318669566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71102342} λ = 2.71102342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41036318669566))-π/2
    2×atan(0.089782680774999)-π/2
    2×0.0895425969277226-π/2
    0.179085193855445-1.57079632675     		φ = -1.39171113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71102342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.330200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39171113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.739174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61045 KachelY 57909 2.71102342 -1.39171113 155.330200 -79.739174
    Oben rechts KachelX + 1 61046 KachelY 57909 2.71111929 -1.39171113 155.335693 -79.739174
    Unten links KachelX 61045 KachelY + 1 57910 2.71102342 -1.39172821 155.330200 -79.740153
    Unten rechts KachelX + 1 61046 KachelY + 1 57910 2.71111929 -1.39172821 155.335693 -79.740153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39171113--1.39172821) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39171113--1.39172821) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71102342-2.71111929) × cos(-1.39171113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178129475276096 × 6371000     		do = 108.799304975154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71102342-2.71111929) × cos(-1.39172821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178112668409565 × 6371000     		du = 108.789039546625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39171113)-sin(-1.39172821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178129475276096-0.178112668409565)×R²
    abs(2.71111929-2.71102342)×1.68068665308829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68068665308829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68068665308829e-05×40589641000000     		ar = 11838.620629079m²