Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61045 / 57877
↖ ↑ ↗
← S 79.707815°
E155.330200°		 ← 109.13 m → S 79.707815°
E155.335693°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
S 79.708796°
E155.330200°		 ← 109.12 m →
11 909 m²		 S 79.708796°
E155.335693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931480407714844 y=0.883140563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931480407714844 × 216)
    floor (0.931480407714844 × 65536)
    floor (61045.5)     		tx = 61045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883140563964844 × 216)
    floor (0.883140563964844 × 65536)
    floor (57877.5)     		ty = 57877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61045 / 57877 ti = "16/61045/57877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61045/57877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61045 ÷ 216
    61045 ÷ 65536     		x = 0.931472778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57877 ÷ 216
    57877 ÷ 65536     		y = 0.883132934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931472778320312 × 2 - 1) × π
    0.862945556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71102342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883132934570312 × 2 - 1) × π
    -0.766265869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40729522511998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71102342} λ = 2.71102342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40729522511998))-π/2
    2×atan(0.0900585535569409)-π/2
    2×0.0898162569702196-π/2
    0.179632513940439-1.57079632675     		φ = -1.39116381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71102342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.330200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39116381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.707815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61045 KachelY 57877 2.71102342 -1.39116381 155.330200 -79.707815
    Oben rechts KachelX + 1 61046 KachelY 57877 2.71111929 -1.39116381 155.335693 -79.707815
    Unten links KachelX 61045 KachelY + 1 57878 2.71102342 -1.39118094 155.330200 -79.708796
    Unten rechts KachelX + 1 61046 KachelY + 1 57878 2.71111929 -1.39118094 155.335693 -79.708796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39116381--1.39118094) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39116381--1.39118094) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71102342-2.71111929) × cos(-1.39116381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178668015311989 × 6371000     		do = 109.128238642733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71102342-2.71111929) × cos(-1.39118094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178651160917467 × 6371000     		du = 109.117944184689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39116381)-sin(-1.39118094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178668015311989-0.178651160917467)×R²
    abs(2.71111929-2.71102342)×1.68543945214816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68543945214816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68543945214816e-05×40589641000000     		ar = 11909.1736802701m²