Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61044 / 57946
↖ ↑ ↗
← S 79.775316°
E155.324707°		 ← 108.42 m → S 79.775316°
E155.330200°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
S 79.776290°
E155.324707°		 ← 108.41 m →
11 749 m²		 S 79.776290°
E155.330200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931465148925781 y=0.884193420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931465148925781 × 216)
    floor (0.931465148925781 × 65536)
    floor (61044.5)     		tx = 61044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884193420410156 × 216)
    floor (0.884193420410156 × 65536)
    floor (57946.5)     		ty = 57946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61044 / 57946 ti = "16/61044/57946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61044/57946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61044 ÷ 216
    61044 ÷ 65536     		x = 0.93145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57946 ÷ 216
    57946 ÷ 65536     		y = 0.884185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93145751953125 × 2 - 1) × π
    0.8629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71092755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.76837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41391051726755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71092755} λ = 2.71092755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41391051726755))-π/2
    2×atan(0.0894647561519128)-π/2
    2×0.0892272056594726-π/2
    0.178454411318945-1.57079632675     		φ = -1.39234192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71092755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39234192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.775316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61044 KachelY 57946 2.71092755 -1.39234192 155.324707 -79.775316
    Oben rechts KachelX + 1 61045 KachelY 57946 2.71102342 -1.39234192 155.330200 -79.775316
    Unten links KachelX 61044 KachelY + 1 57947 2.71092755 -1.39235893 155.324707 -79.776290
    Unten rechts KachelX + 1 61045 KachelY + 1 57947 2.71102342 -1.39235893 155.330200 -79.776290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39234192--1.39235893) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dl = 108.370710000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39234192--1.39235893) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dr = 108.370710000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71092755-2.71102342) × cos(-1.39234192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177508738066688 × 6371000     		do = 108.420166279264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71092755-2.71102342) × cos(-1.39235893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177491998173001 × 6371000     		du = 108.409941756929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39234192)-sin(-1.39235893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177508738066688-0.177491998173001)×R²
    abs(2.71102342-2.71092755)×1.67398936871954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67398936871954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67398936871954e-05×40589641000000     		ar = 11749.0163788866m²