Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61044 / 57940
↖ ↑ ↗
← S 79.769463°
E155.324707°		 ← 108.48 m → S 79.769463°
E155.330200°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
S 79.770439°
E155.324707°		 ← 108.47 m →
11 763 m²		 S 79.770439°
E155.330200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931465148925781 y=0.884101867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931465148925781 × 216)
    floor (0.931465148925781 × 65536)
    floor (61044.5)     		tx = 61044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884101867675781 × 216)
    floor (0.884101867675781 × 65536)
    floor (57940.5)     		ty = 57940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61044 / 57940 ti = "16/61044/57940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61044/57940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61044 ÷ 216
    61044 ÷ 65536     		x = 0.93145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57940 ÷ 216
    57940 ÷ 65536     		y = 0.88409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93145751953125 × 2 - 1) × π
    0.8629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71092755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.7681884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41333527447211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71092755} λ = 2.71092755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41333527447211))-π/2
    2×atan(0.0895162349133088)-π/2
    2×0.0892782754261396-π/2
    0.178556550852279-1.57079632675     		φ = -1.39223978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71092755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39223978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.769463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61044 KachelY 57940 2.71092755 -1.39223978 155.324707 -79.769463
    Oben rechts KachelX + 1 61045 KachelY 57940 2.71102342 -1.39223978 155.330200 -79.769463
    Unten links KachelX 61044 KachelY + 1 57941 2.71092755 -1.39225680 155.324707 -79.770439
    Unten rechts KachelX + 1 61045 KachelY + 1 57941 2.71102342 -1.39225680 155.330200 -79.770439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39223978--1.39225680) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39223978--1.39225680) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71092755-2.71102342) × cos(-1.39223978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177609255078161 × 6371000     		do = 108.481560840549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71092755-2.71102342) × cos(-1.39225680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177592505651909 × 6371000     		du = 108.47133049584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39223978)-sin(-1.39225680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177609255078161-0.177592505651909)×R²
    abs(2.71102342-2.71092755)×1.67494262515167e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67494262515167e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67494262515167e-05×40589641000000     		ar = 11762.5804701867m²