Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61042 / 83122
↖ ↑ ↗
← S 43.424998°
W 12.343140°		 ← 221.82 m → S 43.424998°
W 12.340393°		 →
↑
221.84 m
↓
↑
221.84 m
↓
S 43.426993°
W 12.343140°		 ← 221.82 m →
49 208 m²		 S 43.426993°
W 12.340393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465717315673828 y=0.634174346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465717315673828 × 217)
    floor (0.465717315673828 × 131072)
    floor (61042.5)     		tx = 61042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634174346923828 × 217)
    floor (0.634174346923828 × 131072)
    floor (83122.5)     		ty = 83122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61042 / 83122 ti = "17/61042/83122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61042/83122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61042 ÷ 217
    61042 ÷ 131072     		x = 0.465713500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83122 ÷ 217
    83122 ÷ 131072     		y = 0.634170532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465713500976562 × 2 - 1) × π
    -0.068572998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21542843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634170532226562 × 2 - 1) × π
    -0.268341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.843018316718308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21542843} λ = -0.21542843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843018316718308))-π/2
    2×atan(0.430409448854073)-π/2
    2×0.406443562585706-π/2
    0.812887125171412-1.57079632675     		φ = -0.75790920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21542843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.343140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75790920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.424998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61042 KachelY 83122 -0.21542843 -0.75790920 -12.343140 -43.424998
    Oben rechts KachelX + 1 61043 KachelY 83122 -0.21538049 -0.75790920 -12.340393 -43.424998
    Unten links KachelX 61042 KachelY + 1 83123 -0.21542843 -0.75794402 -12.343140 -43.426993
    Unten rechts KachelX + 1 61043 KachelY + 1 83123 -0.21538049 -0.75794402 -12.340393 -43.426993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75790920--0.75794402) × R
    3.4820000000102e-05 × 6371000     		dl = 221.83822000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75790920--0.75794402) × R
    3.4820000000102e-05 × 6371000     		dr = 221.83822000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21542843--0.21538049) × cos(-0.75790920) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726274822359237 × 6371000     		do = 221.823025062421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21542843--0.21538049) × cos(-0.75794402) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726250886495898 × 6371000     		du = 221.815714433649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75790920)-sin(-0.75794402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726274822359237-0.726250886495898)×R²
    abs(-0.21538049--0.21542843)×2.39358633384867e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39358633384867e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39358633384867e-05×40589641000000     		ar = 49208.0141514584m²