Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61042 / 57874
↖ ↑ ↗
← S 79.704870°
E155.313721°		 ← 109.16 m → S 79.704870°
E155.319214°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
S 79.705852°
E155.313721°		 ← 109.15 m →
11 913 m²		 S 79.705852°
E155.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931434631347656 y=0.883094787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931434631347656 × 216)
    floor (0.931434631347656 × 65536)
    floor (61042.5)     		tx = 61042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883094787597656 × 216)
    floor (0.883094787597656 × 65536)
    floor (57874.5)     		ty = 57874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61042 / 57874 ti = "16/61042/57874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61042/57874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61042 ÷ 216
    61042 ÷ 65536     		x = 0.931427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57874 ÷ 216
    57874 ÷ 65536     		y = 0.883087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931427001953125 × 2 - 1) × π
    0.86285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71073580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.76617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40700760372226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71073580} λ = 2.71073580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40700760372226))-π/2
    2×atan(0.0900844600494438)-π/2
    2×0.0898419549779621-π/2
    0.179683909955924-1.57079632675     		φ = -1.39111242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71073580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39111242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.704870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61042 KachelY 57874 2.71073580 -1.39111242 155.313721 -79.704870
    Oben rechts KachelX + 1 61043 KachelY 57874 2.71083167 -1.39111242 155.319214 -79.704870
    Unten links KachelX 61042 KachelY + 1 57875 2.71073580 -1.39112955 155.313721 -79.705852
    Unten rechts KachelX + 1 61043 KachelY + 1 57875 2.71083167 -1.39112955 155.319214 -79.705852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39111242--1.39112955) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39111242--1.39112955) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71073580-2.71083167) × cos(-1.39111242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178718578180967 × 6371000     		do = 109.159121824721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71073580-2.71083167) × cos(-1.39112955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178701723943743 × 6371000     		du = 109.148827462752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39111242)-sin(-1.39112955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178718578180967-0.178701723943743)×R²
    abs(2.71083167-2.71073580)×1.68542372232516e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68542372232516e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68542372232516e-05×40589641000000     		ar = 11912.5441285862m²