Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61042 / 40546
↖ ↑ ↗
← N 56.410862°
W 12.343140°		 ← 168.97 m → N 56.410862°
W 12.340393°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
N 56.409343°
W 12.343140°		 ← 168.98 m →
28 550 m²		 N 56.409343°
W 12.340393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465717315673828 y=0.309345245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465717315673828 × 217)
    floor (0.465717315673828 × 131072)
    floor (61042.5)     		tx = 61042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309345245361328 × 217)
    floor (0.309345245361328 × 131072)
    floor (40546.5)     		ty = 40546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61042 / 40546 ti = "17/61042/40546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61042/40546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61042 ÷ 217
    61042 ÷ 131072     		x = 0.465713500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40546 ÷ 217
    40546 ÷ 131072     		y = 0.309341430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465713500976562 × 2 - 1) × π
    -0.068572998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21542843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309341430664062 × 2 - 1) × π
    0.381317138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1979431215052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21542843} λ = -0.21542843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1979431215052))-π/2
    2×atan(3.31329486411599)-π/2
    2×1.27767580559539-π/2
    2.55535161119079-1.57079632675     		φ = 0.98455528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21542843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.343140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98455528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.410862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61042 KachelY 40546 -0.21542843 0.98455528 -12.343140 56.410862
    Oben rechts KachelX + 1 61043 KachelY 40546 -0.21538049 0.98455528 -12.340393 56.410862
    Unten links KachelX 61042 KachelY + 1 40547 -0.21542843 0.98452876 -12.343140 56.409343
    Unten rechts KachelX + 1 61043 KachelY + 1 40547 -0.21538049 0.98452876 -12.340393 56.409343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98455528-0.98452876) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98455528-0.98452876) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21542843--0.21538049) × cos(0.98455528) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553233632528781 × 6371000     		do = 168.971791607978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21542843--0.21538049) × cos(0.98452876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553255724187431 × 6371000     		du = 168.978538969169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98455528)-sin(0.98452876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553233632528781-0.553255724187431)×R²
    abs(-0.21538049--0.21542843)×2.20916586496367e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20916586496367e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20916586496367e-05×40589641000000     		ar = 28549.8614357286m²