Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61042 / 14159
↖ ↑ ↗
← N 70.932798°
E155.313721°		 ← 199.53 m → N 70.932798°
E155.319214°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
N 70.931003°
E155.313721°		 ← 199.55 m →
39 816 m²		 N 70.931003°
E155.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931434631347656 y=0.216056823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931434631347656 × 216)
    floor (0.931434631347656 × 65536)
    floor (61042.5)     		tx = 61042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216056823730469 × 216)
    floor (0.216056823730469 × 65536)
    floor (14159.5)     		ty = 14159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61042 / 14159 ti = "16/61042/14159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61042/14159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61042 ÷ 216
    61042 ÷ 65536     		x = 0.931427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14159 ÷ 216
    14159 ÷ 65536     		y = 0.216049194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931427001953125 × 2 - 1) × π
    0.86285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71073580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216049194335938 × 2 - 1) × π
    0.567901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78411553005925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71073580} λ = 2.71073580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78411553005925))-π/2
    2×atan(5.95431120862354)-π/2
    2×1.4044036006695-π/2
    2.80880720133901-1.57079632675     		φ = 1.23801087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71073580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23801087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.932798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61042 KachelY 14159 2.71073580 1.23801087 155.313721 70.932798
    Oben rechts KachelX + 1 61043 KachelY 14159 2.71083167 1.23801087 155.319214 70.932798
    Unten links KachelX 61042 KachelY + 1 14160 2.71073580 1.23797955 155.313721 70.931003
    Unten rechts KachelX + 1 61043 KachelY + 1 14160 2.71083167 1.23797955 155.319214 70.931003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23801087-1.23797955) × R
    3.13200000001679e-05 × 6371000     		dl = 199.53972000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23801087-1.23797955) × R
    3.13200000001679e-05 × 6371000     		dr = 199.53972000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71073580-2.71083167) × cos(1.23801087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326676927974532 × 6371000     		do = 199.53027234801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71073580-2.71083167) × cos(1.23797955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326706529475913 × 6371000     		du = 199.548352583028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23801087)-sin(1.23797955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326676927974532-0.326706529475913)×R²
    abs(2.71083167-2.71073580)×2.96015013812601e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96015013812601e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96015013812601e-05×40589641000000     		ar = 39816.0185417401m²