Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61041 / 57873
↖ ↑ ↗
← S 79.703888°
E155.308228°		 ← 109.17 m → S 79.703888°
E155.313721°		 →
↑
109.20 m
↓
↑
109.20 m
↓
S 79.704870°
E155.308228°		 ← 109.16 m →
11 921 m²		 S 79.704870°
E155.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931419372558594 y=0.883079528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931419372558594 × 216)
    floor (0.931419372558594 × 65536)
    floor (61041.5)     		tx = 61041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883079528808594 × 216)
    floor (0.883079528808594 × 65536)
    floor (57873.5)     		ty = 57873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61041 / 57873 ti = "16/61041/57873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61041/57873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61041 ÷ 216
    61041 ÷ 65536     		x = 0.931411743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57873 ÷ 216
    57873 ÷ 65536     		y = 0.883071899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931411743164062 × 2 - 1) × π
    0.862823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71063993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883071899414062 × 2 - 1) × π
    -0.766143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40691172992302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71063993} λ = 2.71063993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40691172992302))-π/2
    2×atan(0.090093097202913)-π/2
    2×0.0898505225967398-π/2
    0.17970104519348-1.57079632675     		φ = -1.39109528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71063993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39109528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.703888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61041 KachelY 57873 2.71063993 -1.39109528 155.308228 -79.703888
    Oben rechts KachelX + 1 61042 KachelY 57873 2.71073580 -1.39109528 155.313721 -79.703888
    Unten links KachelX 61041 KachelY + 1 57874 2.71063993 -1.39111242 155.308228 -79.704870
    Unten rechts KachelX + 1 61042 KachelY + 1 57874 2.71073580 -1.39111242 155.313721 -79.704870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39109528--1.39111242) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dl = 109.198939999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39109528--1.39111242) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dr = 109.198939999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71063993-2.71073580) × cos(-1.39109528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178735442204719 × 6371000     		do = 109.169422164182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71063993-2.71073580) × cos(-1.39111242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178718578180967 × 6371000     		du = 109.159121824721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39109528)-sin(-1.39111242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178735442204719-0.178718578180967)×R²
    abs(2.71073580-2.71063993)×1.68640237522832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68640237522832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68640237522832e-05×40589641000000     		ar = 11920.6227875752m²