Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61040 / 40472
↖ ↑ ↗
← N 56.523140°
W 12.348633°		 ← 168.47 m → N 56.523140°
W 12.345886°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 56.521625°
W 12.348633°		 ← 168.48 m →
28 380 m²		 N 56.521625°
W 12.345886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465702056884766 y=0.308780670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465702056884766 × 217)
    floor (0.465702056884766 × 131072)
    floor (61040.5)     		tx = 61040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308780670166016 × 217)
    floor (0.308780670166016 × 131072)
    floor (40472.5)     		ty = 40472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61040 / 40472 ti = "17/61040/40472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61040/40472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61040 ÷ 217
    61040 ÷ 131072     		x = 0.4656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40472 ÷ 217
    40472 ÷ 131072     		y = 0.30877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21552430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30877685546875 × 2 - 1) × π
    0.3824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20149045207709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21552430} λ = -0.21552430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20149045207709))-π/2
    2×atan(3.32506908746557)-π/2
    2×1.27865560786926-π/2
    2.55731121573852-1.57079632675     		φ = 0.98651489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21552430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98651489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.523140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61040 KachelY 40472 -0.21552430 0.98651489 -12.348633 56.523140
    Oben rechts KachelX + 1 61041 KachelY 40472 -0.21547636 0.98651489 -12.345886 56.523140
    Unten links KachelX 61040 KachelY + 1 40473 -0.21552430 0.98648845 -12.348633 56.521625
    Unten rechts KachelX + 1 61041 KachelY + 1 40473 -0.21547636 0.98648845 -12.345886 56.521625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98651489-0.98648845) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dl = 168.449240000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98651489-0.98648845) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dr = 168.449240000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21552430--0.21547636) × cos(0.98651489) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551600164993815 × 6371000     		do = 168.472888577345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21552430--0.21547636) × cos(0.98648845) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551622218633999 × 6371000     		du = 168.479624326718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98651489)-sin(0.98648845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551600164993815-0.551622218633999)×R²
    abs(-0.21547636--0.21552430)×2.20536401838167e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20536401838167e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20536401838167e-05×40589641000000     		ar = 28379.6973590973m²