Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6104 / 6331
↖ ↑ ↗
← S 69.580564°
E 88.242187°		 ← 1 704.85 m → S 69.580564°
E 88.286133°		 →
↑
1 704.24 m
↓
↑
1 704.24 m
↓
S 69.595890°
E 88.242187°		 ← 1 703.62 m →
2 904 431 m²		 S 69.595890°
E 88.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74517822265625 y=0.77288818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74517822265625 × 213)
    floor (0.74517822265625 × 8192)
    floor (6104.5)     		tx = 6104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77288818359375 × 213)
    floor (0.77288818359375 × 8192)
    floor (6331.5)     		ty = 6331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6104 / 6331 ti = "13/6104/6331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6104/6331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6104 ÷ 213
    6104 ÷ 8192     		x = 0.7451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6331 ÷ 213
    6331 ÷ 8192     		y = 0.7728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7451171875 × 2 - 1) × π
    0.490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54011671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54011671} λ = 1.54011671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71422353041321))-π/2
    2×atan(0.180103511333531)-π/2
    2×0.178193199239641-π/2
    0.356386398479282-1.57079632675     		φ = -1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54011671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6104 KachelY 6331 1.54011671 -1.21440993 88.242187 -69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 6105 KachelY 6331 1.54088370 -1.21440993 88.286133 -69.580564
    Unten links KachelX 6104 KachelY + 1 6332 1.54011671 -1.21467743 88.242187 -69.595890
    Unten rechts KachelX + 1 6105 KachelY + 1 6332 1.54088370 -1.21467743 88.286133 -69.595890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21440993--1.21467743) × R
    0.000267500000000087 × 6371000     		dl = 1704.24250000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21440993--1.21467743) × R
    0.000267500000000087 × 6371000     		dr = 1704.24250000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54011671-1.54088370) × cos(-1.21440993) × R
    0.000766990000000023 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 1704.84855039725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54011671-1.54088370) × cos(-1.21467743) × R
    0.000766990000000023 × 0.348639277088577 × 6371000     		du = 1703.62348812383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21440993)-sin(-1.21467743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.348639277088577)×R²
    abs(1.54088370-1.54011671)×0.000250703766629556×R²
    0.000766990000000023×0.000250703766629556×6371000²
    0.000766990000000023×0.000250703766629556×40589641000000     		ar = 2904431.47137556m²