Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61038 / 57903
↖ ↑ ↗
← S 79.733302°
E155.291748°		 ← 108.87 m → S 79.733302°
E155.297241°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
S 79.734280°
E155.291748°		 ← 108.86 m →
11 847 m²		 S 79.734280°
E155.297241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931373596191406 y=0.883537292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931373596191406 × 216)
    floor (0.931373596191406 × 65536)
    floor (61038.5)     		tx = 61038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883537292480469 × 216)
    floor (0.883537292480469 × 65536)
    floor (57903.5)     		ty = 57903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61038 / 57903 ti = "16/61038/57903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61038/57903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61038 ÷ 216
    61038 ÷ 65536     		x = 0.931365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57903 ÷ 216
    57903 ÷ 65536     		y = 0.883529663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931365966796875 × 2 - 1) × π
    0.86273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71035230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883529663085938 × 2 - 1) × π
    -0.767059326171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40978794390022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71035230} λ = 2.71035230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40978794390022))-π/2
    2×atan(0.0898343424728553)-π/2
    2×0.0895938452784711-π/2
    0.179187690556942-1.57079632675     		φ = -1.39160864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71035230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39160864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.733302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61038 KachelY 57903 2.71035230 -1.39160864 155.291748 -79.733302
    Oben rechts KachelX + 1 61039 KachelY 57903 2.71044818 -1.39160864 155.297241 -79.733302
    Unten links KachelX 61038 KachelY + 1 57904 2.71035230 -1.39162572 155.291748 -79.734280
    Unten rechts KachelX + 1 61039 KachelY + 1 57904 2.71044818 -1.39162572 155.297241 -79.734280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39160864--1.39162572) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39160864--1.39162572) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71035230-2.71044818) × cos(-1.39160864) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.178230325223732 × 6371000     		do = 108.872257944231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71035230-2.71044818) × cos(-1.39162572) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.178213518669095 × 6371000     		du = 108.861991635457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39160864)-sin(-1.39162572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178230325223732-0.178213518669095)×R²
    abs(2.71044818-2.71035230)×1.68065546364837e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.68065546364837e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.68065546364837e-05×40589641000000     		ar = 11846.5590811719m²