Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61038 / 41129
↖ ↑ ↗
← N 55.514637°
W 12.354126°		 ← 172.89 m → N 55.514637°
W 12.351380°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
N 55.513082°
W 12.354126°		 ← 172.90 m →
29 896 m²		 N 55.513082°
W 12.351380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465686798095703 y=0.313793182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465686798095703 × 217)
    floor (0.465686798095703 × 131072)
    floor (61038.5)     		tx = 61038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313793182373047 × 217)
    floor (0.313793182373047 × 131072)
    floor (41129.5)     		ty = 41129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61038 / 41129 ti = "17/61038/41129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61038/41129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61038 ÷ 217
    61038 ÷ 131072     		x = 0.465682983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41129 ÷ 217
    41129 ÷ 131072     		y = 0.313789367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465682983398438 × 2 - 1) × π
    -0.068634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21562017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313789367675781 × 2 - 1) × π
    0.372421264648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.16999590902671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21562017} λ = -0.21562017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16999590902671))-π/2
    2×atan(3.22197945746964)-π/2
    2×1.2698547634796-π/2
    2.5397095269592-1.57079632675     		φ = 0.96891320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21562017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.354126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96891320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.514637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61038 KachelY 41129 -0.21562017 0.96891320 -12.354126 55.514637
    Oben rechts KachelX + 1 61039 KachelY 41129 -0.21557224 0.96891320 -12.351380 55.514637
    Unten links KachelX 61038 KachelY + 1 41130 -0.21562017 0.96888606 -12.354126 55.513082
    Unten rechts KachelX + 1 61039 KachelY + 1 41130 -0.21557224 0.96888606 -12.351380 55.513082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96891320-0.96888606) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96891320-0.96888606) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21562017--0.21557224) × cos(0.96891320) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.566195682929849 × 6371000     		do = 172.894663116701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21562017--0.21557224) × cos(0.96888606) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.566218053432429 × 6371000     		du = 172.901494218781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96891320)-sin(0.96888606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566195682929849-0.566218053432429)×R²
    abs(-0.21557224--0.21562017)×2.2370502580471e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2370502580471e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2370502580471e-05×40589641000000     		ar = 29895.623512347m²