Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61038 / 40782
↖ ↑ ↗
← N 56.050567°
W 12.354126°		 ← 170.53 m → N 56.050567°
W 12.351380°		 →
↑
170.55 m
↓
↑
170.55 m
↓
N 56.049034°
W 12.354126°		 ← 170.54 m →
29 085 m²		 N 56.049034°
W 12.351380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465686798095703 y=0.311145782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465686798095703 × 217)
    floor (0.465686798095703 × 131072)
    floor (61038.5)     		tx = 61038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311145782470703 × 217)
    floor (0.311145782470703 × 131072)
    floor (40782.5)     		ty = 40782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61038 / 40782 ti = "17/61038/40782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61038/40782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61038 ÷ 217
    61038 ÷ 131072     		x = 0.465682983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40782 ÷ 217
    40782 ÷ 131072     		y = 0.311141967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465682983398438 × 2 - 1) × π
    -0.068634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21562017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311141967773438 × 2 - 1) × π
    0.377716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18663001319487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21562017} λ = -0.21562017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18663001319487))-π/2
    2×atan(3.27602243151725)-π/2
    2×1.27453163796098-π/2
    2.54906327592195-1.57079632675     		φ = 0.97826695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21562017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.354126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97826695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.050567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61038 KachelY 40782 -0.21562017 0.97826695 -12.354126 56.050567
    Oben rechts KachelX + 1 61039 KachelY 40782 -0.21557224 0.97826695 -12.351380 56.050567
    Unten links KachelX 61038 KachelY + 1 40783 -0.21562017 0.97824018 -12.354126 56.049034
    Unten rechts KachelX + 1 61039 KachelY + 1 40783 -0.21557224 0.97824018 -12.351380 56.049034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97826695-0.97824018) × R
    2.67699999999538e-05 × 6371000     		dl = 170.551669999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97826695-0.97824018) × R
    2.67699999999538e-05 × 6371000     		dr = 170.551669999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21562017--0.21557224) × cos(0.97826695) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.55846100301577 × 6371000     		do = 170.532785556737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21562017--0.21557224) × cos(0.97824018) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558483209354532 × 6371000     		du = 170.53956652942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97826695)-sin(0.97824018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55846100301577-0.558483209354532)×R²
    abs(-0.21557224--0.21562017)×2.22063387614879e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22063387614879e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22063387614879e-05×40589641000000     		ar = 29085.2296210777m²