Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61037 / 83132
↖ ↑ ↗
← S 43.444943°
W 12.356872°		 ← 221.75 m → S 43.444943°
W 12.354126°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
S 43.446937°
W 12.356872°		 ← 221.74 m →
49 164 m²		 S 43.446937°
W 12.354126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465679168701172 y=0.634250640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465679168701172 × 217)
    floor (0.465679168701172 × 131072)
    floor (61037.5)     		tx = 61037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634250640869141 × 217)
    floor (0.634250640869141 × 131072)
    floor (83132.5)     		ty = 83132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61037 / 83132 ti = "17/61037/83132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61037/83132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61037 ÷ 217
    61037 ÷ 131072     		x = 0.465675354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83132 ÷ 217
    83132 ÷ 131072     		y = 0.634246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465675354003906 × 2 - 1) × π
    -0.0686492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21566811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.26849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.843497685714508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21566811} λ = -0.21566811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843497685714508))-π/2
    2×atan(0.43020317335361)-π/2
    2×0.406269514450988-π/2
    0.812539028901976-1.57079632675     		φ = -0.75825730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21566811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.356872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75825730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.444943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61037 KachelY 83132 -0.21566811 -0.75825730 -12.356872 -43.444943
    Oben rechts KachelX + 1 61038 KachelY 83132 -0.21562017 -0.75825730 -12.354126 -43.444943
    Unten links KachelX 61037 KachelY + 1 83133 -0.21566811 -0.75829210 -12.356872 -43.446937
    Unten rechts KachelX + 1 61038 KachelY + 1 83133 -0.21562017 -0.75829210 -12.354126 -43.446937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75825730--0.75829210) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dl = 221.71080000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75825730--0.75829210) × R
    3.48000000000015e-05 × 6371000     		dr = 221.71080000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21566811--0.21562017) × cos(-0.75825730) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726035492871207 × 6371000     		do = 221.749927676436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21566811--0.21562017) × cos(-0.75829210) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726011561960052 × 6371000     		du = 221.742618560188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75825730)-sin(-0.75829210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726035492871207-0.726011561960052)×R²
    abs(-0.21562017--0.21566811)×2.39309111553787e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39309111553787e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39309111553787e-05×40589641000000     		ar = 49163.5436150105m²