Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61037 / 83128
↖ ↑ ↗
← S 43.436966°
W 12.356872°		 ← 221.78 m → S 43.436966°
W 12.354126°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
S 43.438960°
W 12.356872°		 ← 221.77 m →
49 184 m²		 S 43.438960°
W 12.354126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465679168701172 y=0.634220123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465679168701172 × 217)
    floor (0.465679168701172 × 131072)
    floor (61037.5)     		tx = 61037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634220123291016 × 217)
    floor (0.634220123291016 × 131072)
    floor (83128.5)     		ty = 83128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61037 / 83128 ti = "17/61037/83128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61037/83128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61037 ÷ 217
    61037 ÷ 131072     		x = 0.465675354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83128 ÷ 217
    83128 ÷ 131072     		y = 0.63421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465675354003906 × 2 - 1) × π
    -0.0686492919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21566811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.2684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.843305938116028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21566811} λ = -0.21566811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843305938116028))-π/2
    2×atan(0.430285671688136)-π/2
    2×0.406339126821312-π/2
    0.812678253642624-1.57079632675     		φ = -0.75811807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21566811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.356872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75811807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.436966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61037 KachelY 83128 -0.21566811 -0.75811807 -12.356872 -43.436966
    Oben rechts KachelX + 1 61038 KachelY 83128 -0.21562017 -0.75811807 -12.354126 -43.436966
    Unten links KachelX 61037 KachelY + 1 83129 -0.21566811 -0.75815288 -12.356872 -43.438960
    Unten rechts KachelX + 1 61038 KachelY + 1 83129 -0.21562017 -0.75815288 -12.354126 -43.438960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75811807--0.75815288) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75811807--0.75815288) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21566811--0.21562017) × cos(-0.75811807) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726131228349643 × 6371000     		do = 221.779167755782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21566811--0.21562017) × cos(-0.75815288) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726107294080638 × 6371000     		du = 221.771857613959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75811807)-sin(-0.75815288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726131228349643-0.726107294080638)×R²
    abs(-0.21562017--0.21566811)×2.39342690053768e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39342690053768e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39342690053768e-05×40589641000000     		ar = 49184.1556607749m²