Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61037 / 57891
↖ ↑ ↗
← S 79.721546°
E155.286255°		 ← 108.98 m → S 79.721546°
E155.291748°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 79.722526°
E155.286255°		 ← 108.97 m →
11 873 m²		 S 79.722526°
E155.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931358337402344 y=0.883354187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931358337402344 × 216)
    floor (0.931358337402344 × 65536)
    floor (61037.5)     		tx = 61037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883354187011719 × 216)
    floor (0.883354187011719 × 65536)
    floor (57891.5)     		ty = 57891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61037 / 57891 ti = "16/61037/57891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61037/57891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61037 ÷ 216
    61037 ÷ 65536     		x = 0.931350708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57891 ÷ 216
    57891 ÷ 65536     		y = 0.883346557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931350708007812 × 2 - 1) × π
    0.862701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71025643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883346557617188 × 2 - 1) × π
    -0.766693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40863745830934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71025643} λ = 2.71025643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40863745830934))-π/2
    2×atan(0.0899377550653789)-π/2
    2×0.0896964290451822-π/2
    0.179392858090364-1.57079632675     		φ = -1.39140347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71025643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.286255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39140347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.721546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61037 KachelY 57891 2.71025643 -1.39140347 155.286255 -79.721546
    Oben rechts KachelX + 1 61038 KachelY 57891 2.71035230 -1.39140347 155.291748 -79.721546
    Unten links KachelX 61037 KachelY + 1 57892 2.71025643 -1.39142057 155.286255 -79.722526
    Unten rechts KachelX + 1 61038 KachelY + 1 57892 2.71035230 -1.39142057 155.291748 -79.722526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39140347--1.39142057) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39140347--1.39142057) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71025643-2.71035230) × cos(-1.39140347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178432206452366 × 6371000     		do = 108.984209475218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71025643-2.71035230) × cos(-1.39142057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178415380843522 × 6371000     		du = 108.973932599113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39140347)-sin(-1.39142057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178432206452366-0.178415380843522)×R²
    abs(2.71035230-2.71025643)×1.68256088443064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68256088443064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68256088443064e-05×40589641000000     		ar = 11872.6268129488m²