Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61036 / 57908
↖ ↑ ↗
← S 79.738195°
E155.280762°		 ← 108.81 m → S 79.738195°
E155.286255°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
S 79.739174°
E155.280762°		 ← 108.80 m →
11 840 m²		 S 79.739174°
E155.286255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931343078613281 y=0.883613586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931343078613281 × 216)
    floor (0.931343078613281 × 65536)
    floor (61036.5)     		tx = 61036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883613586425781 × 216)
    floor (0.883613586425781 × 65536)
    floor (57908.5)     		ty = 57908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61036 / 57908 ti = "16/61036/57908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61036/57908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61036 ÷ 216
    61036 ÷ 65536     		x = 0.93133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57908 ÷ 216
    57908 ÷ 65536     		y = 0.88360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93133544921875 × 2 - 1) × π
    0.8626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71016056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.7672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41026731289642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71016056} λ = 2.71016056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41026731289642))-π/2
    2×atan(0.0897912889943556)-π/2
    2×0.0895511363051574-π/2
    0.179102272610315-1.57079632675     		φ = -1.39169405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71016056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39169405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.738195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61036 KachelY 57908 2.71016056 -1.39169405 155.280762 -79.738195
    Oben rechts KachelX + 1 61037 KachelY 57908 2.71025643 -1.39169405 155.286255 -79.738195
    Unten links KachelX 61036 KachelY + 1 57909 2.71016056 -1.39171113 155.280762 -79.739174
    Unten rechts KachelX + 1 61037 KachelY + 1 57909 2.71025643 -1.39171113 155.286255 -79.739174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39169405--1.39171113) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dl = 108.816680000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39169405--1.39171113) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dr = 108.816680000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71016056-2.71025643) × cos(-1.39169405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178146282090662 × 6371000     		do = 108.809570371944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71016056-2.71025643) × cos(-1.39171113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178129475276096 × 6371000     		du = 108.799304975154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39169405)-sin(-1.39171113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178146282090662-0.178129475276096)×R²
    abs(2.71025643-2.71016056)×1.68068145660616e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68068145660616e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68068145660616e-05×40589641000000     		ar = 11839.7376771373m²