Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61035 / 57901
↖ ↑ ↗
← S 79.731343°
E155.275268°		 ← 108.89 m → S 79.731343°
E155.280762°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
S 79.732323°
E155.275268°		 ← 108.88 m →
11 856 m²		 S 79.732323°
E155.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931327819824219 y=0.883506774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931327819824219 × 216)
    floor (0.931327819824219 × 65536)
    floor (61035.5)     		tx = 61035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883506774902344 × 216)
    floor (0.883506774902344 × 65536)
    floor (57901.5)     		ty = 57901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61035 / 57901 ti = "16/61035/57901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61035/57901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61035 ÷ 216
    61035 ÷ 65536     		x = 0.931320190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57901 ÷ 216
    57901 ÷ 65536     		y = 0.883499145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931320190429688 × 2 - 1) × π
    0.862640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71006468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883499145507812 × 2 - 1) × π
    -0.766998291015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40959619630174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71006468} λ = 2.71006468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40959619630174))-π/2
    2×atan(0.0898515696438671)-π/2
    2×0.0896109345093676-π/2
    0.179221869018735-1.57079632675     		φ = -1.39157446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71006468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.275268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39157446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.731343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61035 KachelY 57901 2.71006468 -1.39157446 155.275268 -79.731343
    Oben rechts KachelX + 1 61036 KachelY 57901 2.71016056 -1.39157446 155.280762 -79.731343
    Unten links KachelX 61035 KachelY + 1 57902 2.71006468 -1.39159155 155.275268 -79.732323
    Unten rechts KachelX + 1 61036 KachelY + 1 57902 2.71016056 -1.39159155 155.280762 -79.732323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39157446--1.39159155) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39157446--1.39159155) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71006468-2.71016056) × cos(-1.39157446) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178263957856671 × 6371000     		do = 108.892802487333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71006468-2.71016056) × cos(-1.39159155) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178247141566231 × 6371000     		du = 108.88253023143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39157446)-sin(-1.39159155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178263957856671-0.178247141566231)×R²
    abs(2.71016056-2.71006468)×1.68162904393698e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68162904393698e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68162904393698e-05×40589641000000     		ar = 11855.7315795499m²