Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61034 / 57902
↖ ↑ ↗
← S 79.732323°
E155.269775°		 ← 108.87 m → S 79.732323°
E155.275268°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
S 79.733302°
E155.269775°		 ← 108.86 m →
11 853 m²		 S 79.733302°
E155.275268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931312561035156 y=0.883522033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931312561035156 × 216)
    floor (0.931312561035156 × 65536)
    floor (61034.5)     		tx = 61034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883522033691406 × 216)
    floor (0.883522033691406 × 65536)
    floor (57902.5)     		ty = 57902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61034 / 57902 ti = "16/61034/57902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61034/57902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61034 ÷ 216
    61034 ÷ 65536     		x = 0.931304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57902 ÷ 216
    57902 ÷ 65536     		y = 0.883514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931304931640625 × 2 - 1) × π
    0.86260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70996881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.76702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40969207010098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70996881} λ = 2.70996881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40969207010098))-π/2
    2×atan(0.0898429556454527)-π/2
    2×0.0896023894908764-π/2
    0.179204778981753-1.57079632675     		φ = -1.39159155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70996881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39159155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.732323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61034 KachelY 57902 2.70996881 -1.39159155 155.269775 -79.732323
    Oben rechts KachelX + 1 61035 KachelY 57902 2.71006468 -1.39159155 155.275268 -79.732323
    Unten links KachelX 61034 KachelY + 1 57903 2.70996881 -1.39160864 155.269775 -79.733302
    Unten rechts KachelX + 1 61035 KachelY + 1 57903 2.71006468 -1.39160864 155.275268 -79.733302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39159155--1.39160864) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39159155--1.39160864) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70996881-2.71006468) × cos(-1.39159155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178247141566231 × 6371000     		do = 108.87117410611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70996881-2.71006468) × cos(-1.39160864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178230325223732 × 6371000     		du = 108.860902889775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39159155)-sin(-1.39160864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178247141566231-0.178230325223732)×R²
    abs(2.71006468-2.70996881)×1.68163424996703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68163424996703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68163424996703e-05×40589641000000     		ar = 11853.3767298364m²