Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61034 / 40481
↖ ↑ ↗
← N 56.509502°
W 12.365112°		 ← 168.50 m → N 56.509502°
W 12.362366°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 56.507987°
W 12.365112°		 ← 168.51 m →
28 395 m²		 N 56.507987°
W 12.362366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465656280517578 y=0.308849334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465656280517578 × 217)
    floor (0.465656280517578 × 131072)
    floor (61034.5)     		tx = 61034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308849334716797 × 217)
    floor (0.308849334716797 × 131072)
    floor (40481.5)     		ty = 40481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61034 / 40481 ti = "17/61034/40481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61034/40481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61034 ÷ 217
    61034 ÷ 131072     		x = 0.465652465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40481 ÷ 217
    40481 ÷ 131072     		y = 0.308845520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465652465820312 × 2 - 1) × π
    -0.068695068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21581192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308845520019531 × 2 - 1) × π
    0.382308959960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.20105901998051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21581192} λ = -0.21581192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20105901998051))-π/2
    2×atan(3.32363485534702)-π/2
    2×1.27853659745003-π/2
    2.55707319490006-1.57079632675     		φ = 0.98627687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21581192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.365112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98627687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.509502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61034 KachelY 40481 -0.21581192 0.98627687 -12.365112 56.509502
    Oben rechts KachelX + 1 61035 KachelY 40481 -0.21576399 0.98627687 -12.362366 56.509502
    Unten links KachelX 61034 KachelY + 1 40482 -0.21581192 0.98625042 -12.365112 56.507987
    Unten rechts KachelX + 1 61035 KachelY + 1 40482 -0.21576399 0.98625042 -12.362366 56.507987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98627687-0.98625042) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98627687-0.98625042) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21581192--0.21576399) × cos(0.98627687) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551798683910333 × 6371000     		do = 168.498366270193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21581192--0.21576399) × cos(0.98625042) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551820742418093 × 6371000     		du = 168.505102100901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98627687)-sin(0.98625042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551798683910333-0.551820742418093)×R²
    abs(-0.21576399--0.21581192)×2.20585077601587e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20585077601587e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20585077601587e-05×40589641000000     		ar = 28394.7243094099m²