Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61032 / 57911
↖ ↑ ↗
← S 79.741131°
E155.258789°		 ← 108.79 m → S 79.741131°
E155.264282°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
S 79.742109°
E155.258789°		 ← 108.78 m →
11 831 m²		 S 79.742109°
E155.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931282043457031 y=0.883659362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931282043457031 × 216)
    floor (0.931282043457031 × 65536)
    floor (61032.5)     		tx = 61032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883659362792969 × 216)
    floor (0.883659362792969 × 65536)
    floor (57911.5)     		ty = 57911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61032 / 57911 ti = "16/61032/57911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61032/57911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61032 ÷ 216
    61032 ÷ 65536     		x = 0.9312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57911 ÷ 216
    57911 ÷ 65536     		y = 0.883651733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9312744140625 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70977706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883651733398438 × 2 - 1) × π
    -0.767303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41055493429414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70977706} λ = 2.70977706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41055493429414))-π/2
    2×atan(0.0897654668119961)-π/2
    2×0.0895255205894927-π/2
    0.179051041178985-1.57079632675     		φ = -1.39174529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70977706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39174529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.741131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61032 KachelY 57911 2.70977706 -1.39174529 155.258789 -79.741131
    Oben rechts KachelX + 1 61033 KachelY 57911 2.70987294 -1.39174529 155.264282 -79.741131
    Unten links KachelX 61032 KachelY + 1 57912 2.70977706 -1.39176236 155.258789 -79.742109
    Unten rechts KachelX + 1 61033 KachelY + 1 57912 2.70987294 -1.39176236 155.264282 -79.742109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39174529--1.39176236) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39174529--1.39176236) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70977706-2.70987294) × cos(-1.39174529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178095861491073 × 6371000     		do = 108.790120573626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70977706-2.70987294) × cos(-1.39176236) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178079064360789 × 6371000     		du = 108.779860021732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39174529)-sin(-1.39176236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178095861491073-0.178079064360789)×R²
    abs(2.70987294-2.70977706)×1.67971302845737e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67971302845737e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67971302845737e-05×40589641000000     		ar = 11830.6907865954m²