Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61032 / 57896
↖ ↑ ↗
← S 79.726446°
E155.258789°		 ← 108.94 m → S 79.726446°
E155.264282°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 79.727426°
E155.258789°		 ← 108.93 m →
11 868 m²		 S 79.727426°
E155.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931282043457031 y=0.883430480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931282043457031 × 216)
    floor (0.931282043457031 × 65536)
    floor (61032.5)     		tx = 61032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883430480957031 × 216)
    floor (0.883430480957031 × 65536)
    floor (57896.5)     		ty = 57896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61032 / 57896 ti = "16/61032/57896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61032/57896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61032 ÷ 216
    61032 ÷ 65536     		x = 0.9312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57896 ÷ 216
    57896 ÷ 65536     		y = 0.8834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9312744140625 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70977706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40911682730554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70977706} λ = 2.70977706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40911682730554))-π/2
    2×atan(0.0898946520259685)-π/2
    2×0.0896536716956847-π/2
    0.179307343391369-1.57079632675     		φ = -1.39148898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70977706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39148898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.726446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61032 KachelY 57896 2.70977706 -1.39148898 155.258789 -79.726446
    Oben rechts KachelX + 1 61033 KachelY 57896 2.70987294 -1.39148898 155.264282 -79.726446
    Unten links KachelX 61032 KachelY + 1 57897 2.70977706 -1.39150608 155.258789 -79.727426
    Unten rechts KachelX + 1 61033 KachelY + 1 57897 2.70987294 -1.39150608 155.264282 -79.727426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39148898--1.39150608) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39148898--1.39150608) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70977706-2.70987294) × cos(-1.39148898) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178348068046814 × 6371000     		do = 108.944181321466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70977706-2.70987294) × cos(-1.39150608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178331242177137 × 6371000     		du = 108.933903214071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39148898)-sin(-1.39150608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178348068046814-0.178331242177137)×R²
    abs(2.70987294-2.70977706)×1.68258696778001e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68258696778001e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68258696778001e-05×40589641000000     		ar = 11868.2659150167m²