Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61031 / 57897
↖ ↑ ↗
← S 79.727426°
E155.253296°		 ← 108.92 m → S 79.727426°
E155.258789°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 79.728405°
E155.253296°		 ← 108.91 m →
11 866 m²		 S 79.728405°
E155.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931266784667969 y=0.883445739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931266784667969 × 216)
    floor (0.931266784667969 × 65536)
    floor (61031.5)     		tx = 61031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883445739746094 × 216)
    floor (0.883445739746094 × 65536)
    floor (57897.5)     		ty = 57897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61031 / 57897 ti = "16/61031/57897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61031/57897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61031 ÷ 216
    61031 ÷ 65536     		x = 0.931259155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57897 ÷ 216
    57897 ÷ 65536     		y = 0.883438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931259155273438 × 2 - 1) × π
    0.862518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70968119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883438110351562 × 2 - 1) × π
    -0.766876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40921270110478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70968119} λ = 2.70968119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40921270110478))-π/2
    2×atan(0.0898860338972803)-π/2
    2×0.0896451226456612-π/2
    0.179290245291322-1.57079632675     		φ = -1.39150608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70968119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.253296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39150608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.727426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61031 KachelY 57897 2.70968119 -1.39150608 155.253296 -79.727426
    Oben rechts KachelX + 1 61032 KachelY 57897 2.70977706 -1.39150608 155.258789 -79.727426
    Unten links KachelX 61031 KachelY + 1 57898 2.70968119 -1.39152318 155.253296 -79.728405
    Unten rechts KachelX + 1 61032 KachelY + 1 57898 2.70977706 -1.39152318 155.258789 -79.728405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39150608--1.39152318) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39150608--1.39152318) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70968119-2.70977706) × cos(-1.39150608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178331242177137 × 6371000     		do = 108.922541730701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70968119-2.70977706) × cos(-1.39152318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178314416255313 × 6371000     		du = 108.912264663432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39150608)-sin(-1.39152318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178331242177137-0.178314416255313)×R²
    abs(2.70977706-2.70968119)×1.68259218236155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68259218236155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68259218236155e-05×40589641000000     		ar = 11865.9084658244m²