Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61031 / 57895
↖ ↑ ↗
← S 79.725466°
E155.253296°		 ← 108.94 m → S 79.725466°
E155.258789°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 79.726446°
E155.253296°		 ← 108.93 m →
11 868 m²		 S 79.726446°
E155.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931266784667969 y=0.883415222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931266784667969 × 216)
    floor (0.931266784667969 × 65536)
    floor (61031.5)     		tx = 61031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883415222167969 × 216)
    floor (0.883415222167969 × 65536)
    floor (57895.5)     		ty = 57895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61031 / 57895 ti = "16/61031/57895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61031/57895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61031 ÷ 216
    61031 ÷ 65536     		x = 0.931259155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57895 ÷ 216
    57895 ÷ 65536     		y = 0.883407592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931259155273438 × 2 - 1) × π
    0.862518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70968119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883407592773438 × 2 - 1) × π
    -0.766815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4090209535063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70968119} λ = 2.70968119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4090209535063))-π/2
    2×atan(0.089903270980949)-π/2
    2×0.0896622215522354-π/2
    0.179324443104471-1.57079632675     		φ = -1.39147188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70968119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.253296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39147188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.725466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61031 KachelY 57895 2.70968119 -1.39147188 155.253296 -79.725466
    Oben rechts KachelX + 1 61032 KachelY 57895 2.70977706 -1.39147188 155.258789 -79.725466
    Unten links KachelX 61031 KachelY + 1 57896 2.70968119 -1.39148898 155.253296 -79.726446
    Unten rechts KachelX + 1 61032 KachelY + 1 57896 2.70977706 -1.39148898 155.258789 -79.726446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39147188--1.39148898) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39147188--1.39148898) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70968119-2.70977706) × cos(-1.39147188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178364893864341 × 6371000     		do = 108.943095769685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70968119-2.70977706) × cos(-1.39148898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178348068046814 × 6371000     		du = 108.93281876612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39147188)-sin(-1.39148898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178364893864341-0.178348068046814)×R²
    abs(2.70977706-2.70968119)×1.68258175270164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68258175270164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68258175270164e-05×40589641000000     		ar = 11868.1477108064m²