Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61031 / 40455
↖ ↑ ↗
← N 56.548886°
W 12.373352°		 ← 168.32 m → N 56.548886°
W 12.370606°		 →
↑
168.32 m
↓
↑
168.32 m
↓
N 56.547372°
W 12.373352°		 ← 168.33 m →
28 333 m²		 N 56.547372°
W 12.370606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465633392333984 y=0.308650970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465633392333984 × 217)
    floor (0.465633392333984 × 131072)
    floor (61031.5)     		tx = 61031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308650970458984 × 217)
    floor (0.308650970458984 × 131072)
    floor (40455.5)     		ty = 40455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61031 / 40455 ti = "17/61031/40455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61031/40455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61031 ÷ 217
    61031 ÷ 131072     		x = 0.465629577636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40455 ÷ 217
    40455 ÷ 131072     		y = 0.308647155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465629577636719 × 2 - 1) × π
    -0.0687408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21595573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308647155761719 × 2 - 1) × π
    0.382705688476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.20230537937063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21595573} λ = -0.21595573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20230537937063))-π/2
    2×atan(3.32777988141782)-π/2
    2×1.27888028850622-π/2
    2.55776057701244-1.57079632675     		φ = 0.98696425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21595573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.373352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98696425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.548886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61031 KachelY 40455 -0.21595573 0.98696425 -12.373352 56.548886
    Oben rechts KachelX + 1 61032 KachelY 40455 -0.21590780 0.98696425 -12.370606 56.548886
    Unten links KachelX 61031 KachelY + 1 40456 -0.21595573 0.98693783 -12.373352 56.547372
    Unten rechts KachelX + 1 61032 KachelY + 1 40456 -0.21590780 0.98693783 -12.370606 56.547372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98696425-0.98693783) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dl = 168.321819999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98696425-0.98693783) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dr = 168.321819999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21595573--0.21590780) × cos(0.98696425) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551225294247856 × 6371000     		do = 168.323274838878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21595573--0.21590780) × cos(0.98693783) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551247337752711 × 6371000     		du = 168.330006088269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98696425)-sin(0.98693783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551225294247856-0.551247337752711)×R²
    abs(-0.21590780--0.21595573)×2.20435048552403e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20435048552403e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20435048552403e-05×40589641000000     		ar = 28333.046478865m²