Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61030 / 40447
↖ ↑ ↗
← N 56.560996°
W 12.376099°		 ← 168.30 m → N 56.560996°
W 12.373352°		 →
↑
168.32 m
↓
↑
168.32 m
↓
N 56.559482°
W 12.376099°		 ← 168.31 m →
28 330 m²		 N 56.559482°
W 12.373352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465625762939453 y=0.308589935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465625762939453 × 217)
    floor (0.465625762939453 × 131072)
    floor (61030.5)     		tx = 61030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308589935302734 × 217)
    floor (0.308589935302734 × 131072)
    floor (40447.5)     		ty = 40447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61030 / 40447 ti = "17/61030/40447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61030/40447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61030 ÷ 217
    61030 ÷ 131072     		x = 0.465621948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40447 ÷ 217
    40447 ÷ 131072     		y = 0.308586120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465621948242188 × 2 - 1) × π
    -0.068756103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21600367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308586120605469 × 2 - 1) × π
    0.382827758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.20268887456759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21600367} λ = -0.21600367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20268887456759))-π/2
    2×atan(3.32905631375608)-π/2
    2×1.27898596772371-π/2
    2.55797193544742-1.57079632675     		φ = 0.98717561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21600367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.376099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98717561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.560996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61030 KachelY 40447 -0.21600367 0.98717561 -12.376099 56.560996
    Oben rechts KachelX + 1 61031 KachelY 40447 -0.21595573 0.98717561 -12.373352 56.560996
    Unten links KachelX 61030 KachelY + 1 40448 -0.21600367 0.98714919 -12.376099 56.559482
    Unten rechts KachelX + 1 61031 KachelY + 1 40448 -0.21595573 0.98714919 -12.373352 56.559482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98717561-0.98714919) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dl = 168.321819999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98717561-0.98714919) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dr = 168.321819999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21600367--0.21595573) × cos(0.98717561) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551048932358791 × 6371000     		do = 168.304527941881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21600367--0.21595573) × cos(0.98714919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55107097894133 × 6371000     		du = 168.311261535667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98717561)-sin(0.98714919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551048932358791-0.55107097894133)×R²
    abs(-0.21595573--0.21600367)×2.20465825387928e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20465825387928e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20465825387928e-05×40589641000000     		ar = 28329.8911642579m²