Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6103 / 10165
↖ ↑ ↗
← S 39.724089°
W 45.900879°		 ← 1 879.20 m → S 39.724089°
W 45.878906°		 →
↑
1 878.94 m
↓
↑
1 878.94 m
↓
S 39.740986°
W 45.900879°		 ← 1 878.74 m →
3 530 465 m²		 S 39.740986°
W 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372528076171875 y=0.620452880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372528076171875 × 214)
    floor (0.372528076171875 × 16384)
    floor (6103.5)     		tx = 6103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620452880859375 × 214)
    floor (0.620452880859375 × 16384)
    floor (10165.5)     		ty = 10165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6103 / 10165 ti = "14/6103/10165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6103/10165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6103 ÷ 214
    6103 ÷ 16384     		x = 0.37249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10165 ÷ 214
    10165 ÷ 16384     		y = 0.62042236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80112147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62042236328125 × 2 - 1) × π
    -0.2408447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756636023602966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80112147} λ = -0.80112147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756636023602966))-π/2
    2×atan(0.469242294937224)-π/2
    2×0.438740094391593-π/2
    0.877480188783187-1.57079632675     		φ = -0.69331614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80112147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69331614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.724089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6103 KachelY 10165 -0.80112147 -0.69331614 -45.900879 -39.724089
    Oben rechts KachelX + 1 6104 KachelY 10165 -0.80073797 -0.69331614 -45.878906 -39.724089
    Unten links KachelX 6103 KachelY + 1 10166 -0.80112147 -0.69361106 -45.900879 -39.740986
    Unten rechts KachelX + 1 6104 KachelY + 1 10166 -0.80073797 -0.69361106 -45.878906 -39.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69331614--0.69361106) × R
    0.000294919999999976 × 6371000     		dl = 1878.93531999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69331614--0.69361106) × R
    0.000294919999999976 × 6371000     		dr = 1878.93531999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80112147--0.80073797) × cos(-0.69331614) × R
    0.000383499999999981 × 0.769130931845179 × 6371000     		do = 1879.2010694622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80112147--0.80073797) × cos(-0.69361106) × R
    0.000383499999999981 × 0.768942417611527 × 6371000     		du = 1878.74047668817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69331614)-sin(-0.69361106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769130931845179-0.768942417611527)×R²
    abs(-0.80073797--0.80112147)×0.000188514233652293×R²
    0.000383499999999981×0.000188514233652293×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188514233652293×40589641000000     		ar = 3530464.57636789m²