Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6103 / 10133
↖ ↑ ↗
← S 39.181175°
W 45.900879°		 ← 1 893.91 m → S 39.181175°
W 45.878906°		 →
↑
1 893.65 m
↓
↑
1 893.65 m
↓
S 39.198205°
W 45.900879°		 ← 1 893.45 m →
3 585 977 m²		 S 39.198205°
W 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372528076171875 y=0.618499755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372528076171875 × 214)
    floor (0.372528076171875 × 16384)
    floor (6103.5)     		tx = 6103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618499755859375 × 214)
    floor (0.618499755859375 × 16384)
    floor (10133.5)     		ty = 10133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6103 / 10133 ti = "14/6103/10133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6103/10133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6103 ÷ 214
    6103 ÷ 16384     		x = 0.37249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10133 ÷ 214
    10133 ÷ 16384     		y = 0.61846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80112147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.2369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.744364177300232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80112147} λ = -0.80112147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744364177300232))-π/2
    2×atan(0.475036242765052)-π/2
    2×0.443477906847868-π/2
    0.886955813695737-1.57079632675     		φ = -0.68384051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80112147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68384051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.181175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6103 KachelY 10133 -0.80112147 -0.68384051 -45.900879 -39.181175
    Oben rechts KachelX + 1 6104 KachelY 10133 -0.80073797 -0.68384051 -45.878906 -39.181175
    Unten links KachelX 6103 KachelY + 1 10134 -0.80112147 -0.68413774 -45.900879 -39.198205
    Unten rechts KachelX + 1 6104 KachelY + 1 10134 -0.80073797 -0.68413774 -45.878906 -39.198205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68384051--0.68413774) × R
    0.000297230000000037 × 6371000     		dl = 1893.65233000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68384051--0.68413774) × R
    0.000297230000000037 × 6371000     		dr = 1893.65233000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80112147--0.80073797) × cos(-0.68384051) × R
    0.000383499999999981 × 0.775152104386658 × 6371000     		do = 1893.91247087758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80112147--0.80073797) × cos(-0.68413774) × R
    0.000383499999999981 × 0.774964287767965 × 6371000     		du = 1893.45358257119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68384051)-sin(-0.68413774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775152104386658-0.774964287767965)×R²
    abs(-0.80073797--0.80112147)×0.000187816618693382×R²
    0.000383499999999981×0.000187816618693382×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187816618693382×40589641000000     		ar = 3585977.30223844m²