Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61029 / 57905
↖ ↑ ↗
← S 79.735260°
E155.242310°		 ← 108.84 m → S 79.735260°
E155.247802°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
S 79.736238°
E155.242310°		 ← 108.83 m →
11 843 m²		 S 79.736238°
E155.247802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931236267089844 y=0.883567810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931236267089844 × 216)
    floor (0.931236267089844 × 65536)
    floor (61029.5)     		tx = 61029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883567810058594 × 216)
    floor (0.883567810058594 × 65536)
    floor (57905.5)     		ty = 57905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61029 / 57905 ti = "16/61029/57905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61029/57905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61029 ÷ 216
    61029 ÷ 65536     		x = 0.931228637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57905 ÷ 216
    57905 ÷ 65536     		y = 0.883560180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931228637695312 × 2 - 1) × π
    0.862457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.70948944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883560180664062 × 2 - 1) × π
    -0.767120361328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4099796914987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70948944} λ = 2.70948944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4099796914987))-π/2
    2×atan(0.0898171186047956)-π/2
    2×0.0895767592716236-π/2
    0.179153518543247-1.57079632675     		φ = -1.39164281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70948944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39164281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.735260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61029 KachelY 57905 2.70948944 -1.39164281 155.242310 -79.735260
    Oben rechts KachelX + 1 61030 KachelY 57905 2.70958531 -1.39164281 155.247802 -79.735260
    Unten links KachelX 61029 KachelY + 1 57906 2.70948944 -1.39165989 155.242310 -79.736238
    Unten rechts KachelX + 1 61030 KachelY + 1 57906 2.70958531 -1.39165989 155.247802 -79.736238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39164281--1.39165989) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39164281--1.39165989) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70948944-2.70958531) × cos(-1.39164281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17819670222252 × 6371000     		do = 108.840366371845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70948944-2.70958531) × cos(-1.39165989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178179895563879 × 6371000     		du = 108.830101070292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39164281)-sin(-1.39165989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17819670222252-0.178179895563879)×R²
    abs(2.70958531-2.70948944)×1.68066586412052e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68066586412052e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68066586412052e-05×40589641000000     		ar = 11843.0888005748m²