Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61029 / 40448
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
W 12.378845°		 ← 168.31 m → N 56.559482°
W 12.376099°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 56.557969°
W 12.378845°		 ← 168.32 m →
28 320 m²		 N 56.557969°
W 12.376099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465618133544922 y=0.308597564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465618133544922 × 217)
    floor (0.465618133544922 × 131072)
    floor (61029.5)     		tx = 61029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308597564697266 × 217)
    floor (0.308597564697266 × 131072)
    floor (40448.5)     		ty = 40448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61029 / 40448 ti = "17/61029/40448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61029/40448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61029 ÷ 217
    61029 ÷ 131072     		x = 0.465614318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40448 ÷ 217
    40448 ÷ 131072     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465614318847656 × 2 - 1) × π
    -0.0687713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21605161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21605161} λ = -0.21605161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21605161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.378845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61029 KachelY 40448 -0.21605161 0.98714919 -12.378845 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 61030 KachelY 40448 -0.21600367 0.98714919 -12.376099 56.559482
    Unten links KachelX 61029 KachelY + 1 40449 -0.21605161 0.98712278 -12.378845 56.557969
    Unten rechts KachelX + 1 61030 KachelY + 1 40449 -0.21600367 0.98712278 -12.376099 56.557969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.98712278) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dl = 168.258110000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.98712278) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dr = 168.258110000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21605161--0.21600367) × cos(0.98714919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 168.311261535667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21605161--0.21600367) × cos(0.98712278) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551093016794774 × 6371000     		du = 168.317992463363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.98712278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.551093016794774)×R²
    abs(-0.21600367--0.21605161)×2.20378534440124e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20378534440124e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20378534440124e-05×40589641000000     		ar = 28320.3010260735m²