Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61028 / 57924
↖ ↑ ↗
← S 79.753841°
E155.236817°		 ← 108.65 m → S 79.753841°
E155.242310°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
S 79.754818°
E155.236817°		 ← 108.64 m →
11 801 m²		 S 79.754818°
E155.242310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931221008300781 y=0.883857727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931221008300781 × 216)
    floor (0.931221008300781 × 65536)
    floor (61028.5)     		tx = 61028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883857727050781 × 216)
    floor (0.883857727050781 × 65536)
    floor (57924.5)     		ty = 57924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61028 / 57924 ti = "16/61028/57924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61028/57924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61028 ÷ 216
    61028 ÷ 65536     		x = 0.93121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57924 ÷ 216
    57924 ÷ 65536     		y = 0.88385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93121337890625 × 2 - 1) × π
    0.8624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70939357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.7677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41180129368426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70939357} λ = 2.70939357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41180129368426))-π/2
    2×atan(0.0896536564719339)-π/2
    2×0.0894146028935801-π/2
    0.17882920578716-1.57079632675     		φ = -1.39196712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70939357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39196712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.753841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61028 KachelY 57924 2.70939357 -1.39196712 155.236817 -79.753841
    Oben rechts KachelX + 1 61029 KachelY 57924 2.70948944 -1.39196712 155.242310 -79.753841
    Unten links KachelX 61028 KachelY + 1 57925 2.70939357 -1.39198417 155.236817 -79.754818
    Unten rechts KachelX + 1 61029 KachelY + 1 57925 2.70948944 -1.39198417 155.242310 -79.754818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39196712--1.39198417) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39196712--1.39198417) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70939357-2.70948944) × cos(-1.39196712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177877573475599 × 6371000     		do = 108.64544643617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70939357-2.70948944) × cos(-1.39198417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177860795352488 × 6371000     		du = 108.63519856377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39196712)-sin(-1.39198417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177877573475599-0.177860795352488)×R²
    abs(2.70948944-2.70939357)×1.67781231109887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67781231109887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67781231109887e-05×40589641000000     		ar = 11801.1147840437m²