Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61028 / 40580
↖ ↑ ↗
← N 56.359164°
W 12.381592°		 ← 169.17 m → N 56.359164°
W 12.378845°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
N 56.357642°
W 12.381592°		 ← 169.17 m →
28 626 m²		 N 56.357642°
W 12.378845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465610504150391 y=0.309604644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465610504150391 × 217)
    floor (0.465610504150391 × 131072)
    floor (61028.5)     		tx = 61028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309604644775391 × 217)
    floor (0.309604644775391 × 131072)
    floor (40580.5)     		ty = 40580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61028 / 40580 ti = "17/61028/40580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61028/40580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61028 ÷ 217
    61028 ÷ 131072     		x = 0.465606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40580 ÷ 217
    40580 ÷ 131072     		y = 0.309600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.06878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21609954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309600830078125 × 2 - 1) × π
    0.38079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19631326691812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21609954} λ = -0.21609954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19631326691812))-π/2
    2×atan(3.30789907365474)-π/2
    2×1.27722465427532-π/2
    2.55444930855064-1.57079632675     		φ = 0.98365298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21609954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98365298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.359164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61028 KachelY 40580 -0.21609954 0.98365298 -12.381592 56.359164
    Oben rechts KachelX + 1 61029 KachelY 40580 -0.21605161 0.98365298 -12.378845 56.359164
    Unten links KachelX 61028 KachelY + 1 40581 -0.21609954 0.98362642 -12.381592 56.357642
    Unten rechts KachelX + 1 61029 KachelY + 1 40581 -0.21605161 0.98362642 -12.378845 56.357642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98365298-0.98362642) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dl = 169.213760000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98365298-0.98362642) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dr = 169.213760000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21609954--0.21605161) × cos(0.98365298) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553985046705521 × 6371000     		do = 169.165998451648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21609954--0.21605161) × cos(0.98362642) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554007158417066 × 6371000     		du = 169.172750528773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98365298)-sin(0.98362642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553985046705521-0.554007158417066)×R²
    abs(-0.21605161--0.21609954)×2.2111711545314e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2111711545314e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2111711545314e-05×40589641000000     		ar = 28625.7859360442m²