Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61028 / 40540
↖ ↑ ↗
← N 56.419979°
W 12.381592°		 ← 168.90 m → N 56.419979°
W 12.378845°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
N 56.418459°
W 12.381592°		 ← 168.90 m →
28 537 m²		 N 56.418459°
W 12.378845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465610504150391 y=0.309299468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465610504150391 × 217)
    floor (0.465610504150391 × 131072)
    floor (61028.5)     		tx = 61028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309299468994141 × 217)
    floor (0.309299468994141 × 131072)
    floor (40540.5)     		ty = 40540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61028 / 40540 ti = "17/61028/40540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61028/40540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61028 ÷ 217
    61028 ÷ 131072     		x = 0.465606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40540 ÷ 217
    40540 ÷ 131072     		y = 0.309295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.06878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21609954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309295654296875 × 2 - 1) × π
    0.38140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19823074290292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21609954} λ = -0.21609954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19823074290292))-π/2
    2×atan(3.31424797567694)-π/2
    2×1.27775535697938-π/2
    2.55551071395875-1.57079632675     		φ = 0.98471439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21609954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98471439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.419979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61028 KachelY 40540 -0.21609954 0.98471439 -12.381592 56.419979
    Oben rechts KachelX + 1 61029 KachelY 40540 -0.21605161 0.98471439 -12.378845 56.419979
    Unten links KachelX 61028 KachelY + 1 40541 -0.21609954 0.98468787 -12.381592 56.418459
    Unten rechts KachelX + 1 61029 KachelY + 1 40541 -0.21605161 0.98468787 -12.378845 56.418459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98471439-0.98468787) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98471439-0.98468787) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21609954--0.21605161) × cos(0.98471439) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553101082737575 × 6371000     		do = 168.896069419949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21609954--0.21605161) × cos(0.98468787) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553123176730415 × 6371000     		du = 168.902816086454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98471439)-sin(0.98468787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553101082737575-0.553123176730415)×R²
    abs(-0.21605161--0.21609954)×2.20939928397001e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20939928397001e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20939928397001e-05×40589641000000     		ar = 28537.0674380072m²