Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61028 / 40484
↖ ↑ ↗
← N 56.504955°
W 12.381592°		 ← 168.52 m → N 56.504955°
W 12.378845°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
N 56.503439°
W 12.381592°		 ← 168.53 m →
28 409 m²		 N 56.503439°
W 12.378845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465610504150391 y=0.308872222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465610504150391 × 217)
    floor (0.465610504150391 × 131072)
    floor (61028.5)     		tx = 61028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308872222900391 × 217)
    floor (0.308872222900391 × 131072)
    floor (40484.5)     		ty = 40484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61028 / 40484 ti = "17/61028/40484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61028/40484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61028 ÷ 217
    61028 ÷ 131072     		x = 0.465606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40484 ÷ 217
    40484 ÷ 131072     		y = 0.308868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.06878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21609954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308868408203125 × 2 - 1) × π
    0.38226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20091520928165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21609954} λ = -0.21609954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20091520928165))-π/2
    2×atan(3.32315691546297)-π/2
    2×1.27849691779334-π/2
    2.55699383558668-1.57079632675     		φ = 0.98619751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21609954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98619751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.504955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61028 KachelY 40484 -0.21609954 0.98619751 -12.381592 56.504955
    Oben rechts KachelX + 1 61029 KachelY 40484 -0.21605161 0.98619751 -12.378845 56.504955
    Unten links KachelX 61028 KachelY + 1 40485 -0.21609954 0.98617105 -12.381592 56.503439
    Unten rechts KachelX + 1 61029 KachelY + 1 40485 -0.21605161 0.98617105 -12.378845 56.503439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98619751-0.98617105) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98619751-0.98617105) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21609954--0.21605161) × cos(0.98619751) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551864866614768 × 6371000     		do = 168.51857595517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21609954--0.21605161) × cos(0.98617105) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551886932303359 × 6371000     		du = 168.525313978632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98619751)-sin(0.98617105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551864866614768-0.551886932303359)×R²
    abs(-0.21605161--0.21609954)×2.20656885918658e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20656885918658e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20656885918658e-05×40589641000000     		ar = 28408.8666209967m²