Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61028 / 32947
↖ ↑ ↗
← N 66.316552°
W 12.381592°		 ← 122.66 m → N 66.316552°
W 12.378845°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
N 66.315448°
W 12.381592°		 ← 122.66 m →
15 051 m²		 N 66.315448°
W 12.378845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465610504150391 y=0.251369476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465610504150391 × 217)
    floor (0.465610504150391 × 131072)
    floor (61028.5)     		tx = 61028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251369476318359 × 217)
    floor (0.251369476318359 × 131072)
    floor (32947.5)     		ty = 32947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61028 / 32947 ti = "17/61028/32947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61028/32947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61028 ÷ 217
    61028 ÷ 131072     		x = 0.465606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32947 ÷ 217
    32947 ÷ 131072     		y = 0.251365661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.06878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21609954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251365661621094 × 2 - 1) × π
    0.497268676757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.56221562171801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21609954} λ = -0.21609954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56221562171801))-π/2
    2×atan(4.7693766819502)-π/2
    2×1.36411925297223-π/2
    2.72823850594446-1.57079632675     		φ = 1.15744218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21609954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15744218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.316552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61028 KachelY 32947 -0.21609954 1.15744218 -12.381592 66.316552
    Oben rechts KachelX + 1 61029 KachelY 32947 -0.21605161 1.15744218 -12.378845 66.316552
    Unten links KachelX 61028 KachelY + 1 32948 -0.21609954 1.15742292 -12.381592 66.315448
    Unten rechts KachelX + 1 61029 KachelY + 1 32948 -0.21605161 1.15742292 -12.378845 66.315448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15744218-1.15742292) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dl = 122.705460001194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15744218-1.15742292) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dr = 122.705460001194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21609954--0.21605161) × cos(1.15744218) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.401683237849556 × 6371000     		do = 122.658808926717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21609954--0.21605161) × cos(1.15742292) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.40170087567228 × 6371000     		du = 122.664194848069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15744218)-sin(1.15742292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401683237849556-0.40170087567228)×R²
    abs(-0.21605161--0.21609954)×1.76378227236818e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.76378227236818e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.76378227236818e-05×40589641000000     		ar = 15051.2360140163m²