Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61027 / 40579
↖ ↑ ↗
← N 56.360686°
W 12.384338°		 ← 169.19 m → N 56.360686°
W 12.381592°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
N 56.359164°
W 12.384338°		 ← 169.20 m →
28 631 m²		 N 56.359164°
W 12.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465602874755859 y=0.309597015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465602874755859 × 217)
    floor (0.465602874755859 × 131072)
    floor (61027.5)     		tx = 61027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309597015380859 × 217)
    floor (0.309597015380859 × 131072)
    floor (40579.5)     		ty = 40579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61027 / 40579 ti = "17/61027/40579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61027/40579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61027 ÷ 217
    61027 ÷ 131072     		x = 0.465599060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40579 ÷ 217
    40579 ÷ 131072     		y = 0.309593200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465599060058594 × 2 - 1) × π
    -0.0688018798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21614748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309593200683594 × 2 - 1) × π
    0.380813598632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.19636120381774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21614748} λ = -0.21614748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19636120381774))-π/2
    2×atan(3.30805764788133)-π/2
    2×1.27723793217312-π/2
    2.55447586434624-1.57079632675     		φ = 0.98367954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21614748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.384338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98367954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.360686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61027 KachelY 40579 -0.21614748 0.98367954 -12.384338 56.360686
    Oben rechts KachelX + 1 61028 KachelY 40579 -0.21609954 0.98367954 -12.381592 56.360686
    Unten links KachelX 61027 KachelY + 1 40580 -0.21614748 0.98365298 -12.384338 56.359164
    Unten rechts KachelX + 1 61028 KachelY + 1 40580 -0.21609954 0.98365298 -12.381592 56.359164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98367954-0.98365298) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dl = 169.213760000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98367954-0.98365298) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dr = 169.213760000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21614748--0.21609954) × cos(0.98367954) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553962934603176 × 6371000     		do = 169.194539233734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21614748--0.21609954) × cos(0.98365298) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553985046705521 × 6371000     		du = 169.201292838955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98367954)-sin(0.98365298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553962934603176-0.553985046705521)×R²
    abs(-0.21609954--0.21614748)×2.21121023449289e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21121023449289e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21121023449289e-05×40589641000000     		ar = 28630.6155584475m²