Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61027 / 40537
↖ ↑ ↗
← N 56.424535°
W 12.384338°		 ← 168.91 m → N 56.424535°
W 12.381592°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 56.423016°
W 12.384338°		 ← 168.92 m →
28 529 m²		 N 56.423016°
W 12.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465602874755859 y=0.309276580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465602874755859 × 217)
    floor (0.465602874755859 × 131072)
    floor (61027.5)     		tx = 61027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309276580810547 × 217)
    floor (0.309276580810547 × 131072)
    floor (40537.5)     		ty = 40537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61027 / 40537 ti = "17/61027/40537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61027/40537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61027 ÷ 217
    61027 ÷ 131072     		x = 0.465599060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40537 ÷ 217
    40537 ÷ 131072     		y = 0.309272766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465599060058594 × 2 - 1) × π
    -0.0688018798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21614748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309272766113281 × 2 - 1) × π
    0.381454467773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.19837455360178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21614748} λ = -0.21614748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19837455360178))-π/2
    2×atan(3.314724634268)-π/2
    2×1.27779512552373-π/2
    2.55559025104746-1.57079632675     		φ = 0.98479392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21614748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.384338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98479392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.424535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61027 KachelY 40537 -0.21614748 0.98479392 -12.384338 56.424535
    Oben rechts KachelX + 1 61028 KachelY 40537 -0.21609954 0.98479392 -12.381592 56.424535
    Unten links KachelX 61027 KachelY + 1 40538 -0.21614748 0.98476741 -12.384338 56.423016
    Unten rechts KachelX + 1 61028 KachelY + 1 40538 -0.21609954 0.98476741 -12.381592 56.423016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98479392-0.98476741) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98479392-0.98476741) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21614748--0.21609954) × cos(0.98479392) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553034823419853 × 6371000     		do = 168.911070188765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21614748--0.21609954) × cos(0.98476741) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553056910247776 × 6371000     		du = 168.917816074528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98479392)-sin(0.98476741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553034823419853-0.553056910247776)×R²
    abs(-0.21609954--0.21614748)×2.20868279234843e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20868279234843e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20868279234843e-05×40589641000000     		ar = 28528.8403464487m²