Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61027 / 40485
↖ ↑ ↗
← N 56.503439°
W 12.384338°		 ← 168.56 m → N 56.503439°
W 12.381592°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 56.501924°
W 12.384338°		 ← 168.57 m →
28 405 m²		 N 56.501924°
W 12.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465602874755859 y=0.308879852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465602874755859 × 217)
    floor (0.465602874755859 × 131072)
    floor (61027.5)     		tx = 61027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308879852294922 × 217)
    floor (0.308879852294922 × 131072)
    floor (40485.5)     		ty = 40485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61027 / 40485 ti = "17/61027/40485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61027/40485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61027 ÷ 217
    61027 ÷ 131072     		x = 0.465599060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40485 ÷ 217
    40485 ÷ 131072     		y = 0.308876037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465599060058594 × 2 - 1) × π
    -0.0688018798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21614748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308876037597656 × 2 - 1) × π
    0.382247924804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.20086727238203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21614748} λ = -0.21614748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20086727238203))-π/2
    2×atan(3.32299761744165)-π/2
    2×1.27848369018357-π/2
    2.55696738036713-1.57079632675     		φ = 0.98617105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21614748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.384338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98617105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.503439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61027 KachelY 40485 -0.21614748 0.98617105 -12.384338 56.503439
    Oben rechts KachelX + 1 61028 KachelY 40485 -0.21609954 0.98617105 -12.381592 56.503439
    Unten links KachelX 61027 KachelY + 1 40486 -0.21614748 0.98614460 -12.384338 56.501924
    Unten rechts KachelX + 1 61028 KachelY + 1 40486 -0.21609954 0.98614460 -12.381592 56.501924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98617105-0.98614460) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98617105-0.98614460) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21614748--0.21609954) × cos(0.98617105) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551886932303359 × 6371000     		do = 168.56047469507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21614748--0.21609954) × cos(0.98614460) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551908989266514 × 6371000     		du = 168.567211459364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98617105)-sin(0.98614460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551886932303359-0.551908989266514)×R²
    abs(-0.21609954--0.21614748)×2.20569631548262e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20569631548262e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20569631548262e-05×40589641000000     		ar = 28405.1904619127m²