Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61027 / 33985
↖ ↑ ↗
← N 65.144960°
W 12.384338°		 ← 128.38 m → N 65.144960°
W 12.381592°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
N 65.143806°
W 12.384338°		 ← 128.38 m →
16 481 m²		 N 65.143806°
W 12.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465602874755859 y=0.259288787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465602874755859 × 217)
    floor (0.465602874755859 × 131072)
    floor (61027.5)     		tx = 61027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259288787841797 × 217)
    floor (0.259288787841797 × 131072)
    floor (33985.5)     		ty = 33985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61027 / 33985 ti = "17/61027/33985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61027/33985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61027 ÷ 217
    61027 ÷ 131072     		x = 0.465599060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33985 ÷ 217
    33985 ÷ 131072     		y = 0.259284973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465599060058594 × 2 - 1) × π
    -0.0688018798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21614748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259284973144531 × 2 - 1) × π
    0.481430053710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.51245711991239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21614748} λ = -0.21614748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51245711991239))-π/2
    2×atan(4.53786719081485)-π/2
    2×1.35389518858087-π/2
    2.70779037716173-1.57079632675     		φ = 1.13699405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21614748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.384338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13699405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.144960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61027 KachelY 33985 -0.21614748 1.13699405 -12.384338 65.144960
    Oben rechts KachelX + 1 61028 KachelY 33985 -0.21609954 1.13699405 -12.381592 65.144960
    Unten links KachelX 61027 KachelY + 1 33986 -0.21614748 1.13697390 -12.384338 65.143806
    Unten rechts KachelX + 1 61028 KachelY + 1 33986 -0.21609954 1.13697390 -12.381592 65.143806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13699405-1.13697390) × R
    2.01499999998855e-05 × 6371000     		dl = 128.375649999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13699405-1.13697390) × R
    2.01499999998855e-05 × 6371000     		dr = 128.375649999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21614748--0.21609954) × cos(1.13699405) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420323920067481 × 6371000     		do = 128.377744326301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21614748--0.21609954) × cos(1.13697390) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420342203570762 × 6371000     		du = 128.383328578821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13699405)-sin(1.13697390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420323920067481-0.420342203570762)×R²
    abs(-0.21609954--0.21614748)×1.82835032813689e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82835032813689e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82835032813689e-05×40589641000000     		ar = 16480.9348147967m²