Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61026 / 40538
↖ ↑ ↗
← N 56.423016°
W 12.387085°		 ← 168.92 m → N 56.423016°
W 12.384338°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 56.421497°
W 12.387085°		 ← 168.92 m →
28 530 m²		 N 56.421497°
W 12.384338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465595245361328 y=0.309284210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465595245361328 × 217)
    floor (0.465595245361328 × 131072)
    floor (61026.5)     		tx = 61026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309284210205078 × 217)
    floor (0.309284210205078 × 131072)
    floor (40538.5)     		ty = 40538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61026 / 40538 ti = "17/61026/40538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61026/40538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61026 ÷ 217
    61026 ÷ 131072     		x = 0.465591430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40538 ÷ 217
    40538 ÷ 131072     		y = 0.309280395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465591430664062 × 2 - 1) × π
    -0.068817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21619542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309280395507812 × 2 - 1) × π
    0.381439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19832661670216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21619542} λ = -0.21619542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19832661670216))-π/2
    2×atan(3.31456574045441)-π/2
    2×1.2777818698717-π/2
    2.5555637397434-1.57079632675     		φ = 0.98476741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21619542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.387085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98476741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.423016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61026 KachelY 40538 -0.21619542 0.98476741 -12.387085 56.423016
    Oben rechts KachelX + 1 61027 KachelY 40538 -0.21614748 0.98476741 -12.384338 56.423016
    Unten links KachelX 61026 KachelY + 1 40539 -0.21619542 0.98474090 -12.387085 56.421497
    Unten rechts KachelX + 1 61027 KachelY + 1 40539 -0.21614748 0.98474090 -12.384338 56.421497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98476741-0.98474090) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98476741-0.98474090) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21619542--0.21614748) × cos(0.98476741) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553056910247776 × 6371000     		do = 168.917816074528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21619542--0.21614748) × cos(0.98474090) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553078996687022 × 6371000     		du = 168.924561841578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98476741)-sin(0.98474090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553056910247776-0.553078996687022)×R²
    abs(-0.21614748--0.21619542)×2.20864392460607e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20864392460607e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20864392460607e-05×40589641000000     		ar = 28529.9796841751m²