Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61026 / 33998
↖ ↑ ↗
← N 65.129948°
W 12.387085°		 ← 128.45 m → N 65.129948°
W 12.384338°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
N 65.128793°
W 12.387085°		 ← 128.46 m →
16 498 m²		 N 65.128793°
W 12.384338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465595245361328 y=0.259387969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465595245361328 × 217)
    floor (0.465595245361328 × 131072)
    floor (61026.5)     		tx = 61026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259387969970703 × 217)
    floor (0.259387969970703 × 131072)
    floor (33998.5)     		ty = 33998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61026 / 33998 ti = "17/61026/33998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61026/33998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61026 ÷ 217
    61026 ÷ 131072     		x = 0.465591430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33998 ÷ 217
    33998 ÷ 131072     		y = 0.259384155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465591430664062 × 2 - 1) × π
    -0.068817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21619542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259384155273438 × 2 - 1) × π
    0.481231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51183394021733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21619542} λ = -0.21619542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51183394021733))-π/2
    2×atan(4.53504016508666)-π/2
    2×1.35376418288074-π/2
    2.70752836576148-1.57079632675     		φ = 1.13673204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21619542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.387085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13673204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.129948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61026 KachelY 33998 -0.21619542 1.13673204 -12.387085 65.129948
    Oben rechts KachelX + 1 61027 KachelY 33998 -0.21614748 1.13673204 -12.384338 65.129948
    Unten links KachelX 61026 KachelY + 1 33999 -0.21619542 1.13671188 -12.387085 65.128793
    Unten rechts KachelX + 1 61027 KachelY + 1 33999 -0.21614748 1.13671188 -12.384338 65.128793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13673204-1.13671188) × R
    2.01600000000468e-05 × 6371000     		dl = 128.439360000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13673204-1.13671188) × R
    2.01600000000468e-05 × 6371000     		dr = 128.439360000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21619542--0.21614748) × cos(1.13673204) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420561646731721 × 6371000     		do = 128.450352168645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21619542--0.21614748) × cos(1.13671188) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420579937087781 × 6371000     		du = 128.455938514179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13673204)-sin(1.13671188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420561646731721-0.420579937087781)×R²
    abs(-0.21614748--0.21619542)×1.82903560598247e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82903560598247e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82903560598247e-05×40589641000000     		ar = 16498.4397783164m²