Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61025 / 40427
↖ ↑ ↗
← N 56.591254°
W 12.389831°		 ← 168.13 m → N 56.591254°
W 12.387085°		 →
↑
168.19 m
↓
↑
168.19 m
↓
N 56.589741°
W 12.389831°		 ← 168.14 m →
28 280 m²		 N 56.589741°
W 12.387085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465587615966797 y=0.308437347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465587615966797 × 217)
    floor (0.465587615966797 × 131072)
    floor (61025.5)     		tx = 61025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308437347412109 × 217)
    floor (0.308437347412109 × 131072)
    floor (40427.5)     		ty = 40427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61025 / 40427 ti = "17/61025/40427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61025/40427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61025 ÷ 217
    61025 ÷ 131072     		x = 0.465583801269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40427 ÷ 217
    40427 ÷ 131072     		y = 0.308433532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465583801269531 × 2 - 1) × π
    -0.0688323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21624335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308433532714844 × 2 - 1) × π
    0.383132934570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.20364761255999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21624335} λ = -0.21624335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20364761255999))-π/2
    2×atan(3.33224953701055)-π/2
    2×1.279250017846-π/2
    2.55850003569199-1.57079632675     		φ = 0.98770371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21624335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.389831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98770371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.591254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61025 KachelY 40427 -0.21624335 0.98770371 -12.389831 56.591254
    Oben rechts KachelX + 1 61026 KachelY 40427 -0.21619542 0.98770371 -12.387085 56.591254
    Unten links KachelX 61025 KachelY + 1 40428 -0.21624335 0.98767731 -12.389831 56.589741
    Unten rechts KachelX + 1 61026 KachelY + 1 40428 -0.21619542 0.98767731 -12.387085 56.589741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98770371-0.98767731) × R
    2.6399999999982e-05 × 6371000     		dl = 168.194399999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98770371-0.98767731) × R
    2.6399999999982e-05 × 6371000     		dr = 168.194399999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21624335--0.21619542) × cos(0.98770371) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.550608170383007 × 6371000     		do = 168.134828642746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21624335--0.21619542) × cos(0.98767731) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.550630207956095 × 6371000     		du = 168.141558080801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98770371)-sin(0.98767731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550608170383007-0.550630207956095)×R²
    abs(-0.21619542--0.21624335)×2.20375730884959e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20375730884959e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20375730884959e-05×40589641000000     		ar = 28279.9025511184m²