Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61024 / 57956
↖ ↑ ↗
← S 79.785062°
E155.214844°		 ← 108.33 m → S 79.785062°
E155.220337°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 79.786036°
E155.214844°		 ← 108.32 m →
11 732 m²		 S 79.786036°
E155.220337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931159973144531 y=0.884346008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931159973144531 × 216)
    floor (0.931159973144531 × 65536)
    floor (61024.5)     		tx = 61024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884346008300781 × 216)
    floor (0.884346008300781 × 65536)
    floor (57956.5)     		ty = 57956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61024 / 57956 ti = "16/61024/57956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61024/57956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61024 ÷ 216
    61024 ÷ 65536     		x = 0.93115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57956 ÷ 216
    57956 ÷ 65536     		y = 0.88433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93115234375 × 2 - 1) × π
    0.8623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70901007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.7686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41486925525995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70901007} λ = 2.70901007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41486925525995))-π/2
    2×atan(0.0893790239951139)-π/2
    2×0.0891421536023136-π/2
    0.178284307204627-1.57079632675     		φ = -1.39251202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70901007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39251202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.785062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61024 KachelY 57956 2.70901007 -1.39251202 155.214844 -79.785062
    Oben rechts KachelX + 1 61025 KachelY 57956 2.70910595 -1.39251202 155.220337 -79.785062
    Unten links KachelX 61024 KachelY + 1 57957 2.70901007 -1.39252902 155.214844 -79.786036
    Unten rechts KachelX + 1 61025 KachelY + 1 57957 2.70910595 -1.39252902 155.220337 -79.786036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39251202--1.39252902) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dl = 108.306999999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39251202--1.39252902) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dr = 108.306999999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70901007-2.70910595) × cos(-1.39251202) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177341336819399 × 6371000     		do = 108.329218061237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70901007-2.70910595) × cos(-1.39252902) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177324606253898 × 6371000     		du = 108.31899817054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39251202)-sin(-1.39252902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177341336819399-0.177324606253898)×R²
    abs(2.70910595-2.70901007)×1.67305655003891e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67305655003891e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67305655003891e-05×40589641000000     		ar = 11732.2591780876m²