Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61024 / 40544
↖ ↑ ↗
← N 56.413901°
W 12.392578°		 ← 168.96 m → N 56.413901°
W 12.389831°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
N 56.412382°
W 12.392578°		 ← 168.97 m →
28 548 m²		 N 56.412382°
W 12.389831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465579986572266 y=0.309329986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465579986572266 × 217)
    floor (0.465579986572266 × 131072)
    floor (61024.5)     		tx = 61024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309329986572266 × 217)
    floor (0.309329986572266 × 131072)
    floor (40544.5)     		ty = 40544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61024 / 40544 ti = "17/61024/40544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61024/40544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61024 ÷ 217
    61024 ÷ 131072     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40544 ÷ 217
    40544 ÷ 131072     		y = 0.309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309326171875 × 2 - 1) × π
    0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19803899530444))-π/2
    2×atan(3.31361253751066)-π/2
    2×1.27770232484132-π/2
    2.55540464968263-1.57079632675     		φ = 0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61024 KachelY 40544 -0.21629129 0.98460832 -12.392578 56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 61025 KachelY 40544 -0.21624335 0.98460832 -12.389831 56.413901
    Unten links KachelX 61024 KachelY + 1 40545 -0.21629129 0.98458180 -12.392578 56.412382
    Unten rechts KachelX + 1 61025 KachelY + 1 40545 -0.21624335 0.98458180 -12.389831 56.412382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98460832-0.98458180) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98460832-0.98458180) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21624335) × cos(0.98460832) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 168.958296529082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21624335) × cos(0.98458180) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.553211540481037 × 6371000     		du = 168.965044127948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98460832)-sin(0.98458180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.553211540481037)×R²
    abs(-0.21624335--0.21629129)×2.20924368240505e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20924368240505e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20924368240505e-05×40589641000000     		ar = 28547.5813417921m²