Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61020 / 57916
↖ ↑ ↗
← S 79.746021°
E155.192871°		 ← 108.73 m → S 79.746021°
E155.198364°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
S 79.746999°
E155.192871°		 ← 108.72 m →
11 817 m²		 S 79.746999°
E155.198364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931098937988281 y=0.883735656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931098937988281 × 216)
    floor (0.931098937988281 × 65536)
    floor (61020.5)     		tx = 61020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883735656738281 × 216)
    floor (0.883735656738281 × 65536)
    floor (57916.5)     		ty = 57916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61020 / 57916 ti = "16/61020/57916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61020/57916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61020 ÷ 216
    61020 ÷ 65536     		x = 0.93109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57916 ÷ 216
    57916 ÷ 65536     		y = 0.88372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93109130859375 × 2 - 1) × π
    0.8621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70862658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88372802734375 × 2 - 1) × π
    -0.7674560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41103430329034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70862658} λ = 2.70862658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41103430329034))-π/2
    2×atan(0.0897224463424404)-π/2
    2×0.0894828438375537-π/2
    0.178965687675107-1.57079632675     		φ = -1.39183064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70862658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39183064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.746021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61020 KachelY 57916 2.70862658 -1.39183064 155.192871 -79.746021
    Oben rechts KachelX + 1 61021 KachelY 57916 2.70872245 -1.39183064 155.198364 -79.746021
    Unten links KachelX 61020 KachelY + 1 57917 2.70862658 -1.39184770 155.192871 -79.746999
    Unten rechts KachelX + 1 61021 KachelY + 1 57917 2.70872245 -1.39184770 155.198364 -79.746999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39183064--1.39184770) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39183064--1.39184770) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70862658-2.70872245) × cos(-1.39183064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178011875320804 × 6371000     		do = 108.727476360709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70862658-2.70872245) × cos(-1.39184770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177995087771434 × 6371000     		du = 108.717222730866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39183064)-sin(-1.39184770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178011875320804-0.177995087771434)×R²
    abs(2.70872245-2.70862658)×1.67875493696512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67875493696512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67875493696512e-05×40589641000000     		ar = 11816.9517175589m²